A constante da taxa de reação para a decomposição em fase gasosa do óxido de etileno é 0,0212 \mathrm{~min}^{-1} a 450^{\circ} \mathrm{C}.
\mathrm{CH}_{2} \mathrm{OCH}_{2}(\mathrm{~g}) \rightarrow \mathrm{CH}_{4}(\mathrm{~g})+\mathrm{CO}(\mathrm{~g})
No tempo zero, óxido de etileno puro é admitido a uma temperatura constante em um vaso de reação de volume constante, numa pressão de 2,0 atmosferas e a uma temperatura de 450^{\circ} \mathrm{C}. Assumindo comportamento de gás ideal, pede-se calcular a pressão total no vaso de reação após 50 minutos.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede o que está descrito abaixo.
  • Reação: \mathrm{CH}_{2}\mathrm{OCH}_{2}(\mathrm{g}) \rightarrow \mathrm{CH}_{4}(\mathrm{g}) + \mathrm{CO}(\mathrm{g}).
  • Constante de velocidade: k=0,0212\\ \mathrm{min}^{-1} (a 450^\circ\mathrm{C}).
  • Condições iniciais: no tempo zero há óxido de etileno puro à pressão total P_0=2,0\\ \mathrm{atm} num vaso de volume constante e temperatura constante 450^\circ\mathrm{C}.
  • Tempo pedido: t=50\\ \mathrm{min}.
  • O que se pede: calcular a pressão total no vaso de reação após 50 minutos, assumindo comportamento de gás ideal.

Passo 2

Entender o modelo cinético (primeira aula curta sobre cinética de primeira ordem).
  • Para uma reação elementar do tipo A \rightarrow \text{produtos} com cinética de primeira ordem, a taxa de consumo de A obedece à lei
\frac{d[A]}{dt} = -k[A],
onde [A] é a concentração molar de A (mol/L) e k é a constante de velocidade (unidade de tempo^{-1}).
  • Essa equação diferencial tem solução conhecida: separando e integrando obtém-se
[A](t) = [A]_0 e^{-kt},
onde [A]_0 é a concentração inicial de A.
  • Quando o sistema é gás ideal, à temperatura e volume constantes a pressão parcial de uma espécie é proporcional à sua quantidade de matéria (moles) ou à sua concentração. Logo, a pressão parcial do reagente obedece a mesma decaída exponencial:
P_A(t)=P_{A0} e^{-kt}.
Aqui P_{A0} é a pressão parcial inicial de A. Como o sistema começa com óxido de etileno puro, P_{A0}=P_0=2,0\\ \mathrm{atm}.

Passo 3

Interpretar a estequiometria e relacionar com a pressão total.
  • A reação consome 1 mol de A e forma 1 mol de \mathrm{CH}_4 e 1 mol de \mathrm{CO}. Para cada mol de A consumido, são formados 2 mols de produtos gasosos.
  • Denotando n_0 o número de mols iniciais de A (proporcional a P_0), no tempo t:
    • moles de A remanescente: n_A(t)=n_0 e^{-kt},
    • moles de \mathrm{CH}_4 formados: n_{\mathrm{CH}_4}(t)=n_0\bigl(1-e^{-kt}\bigr),
    • moles de \mathrm{CO} formados: n_{\mathrm{CO}}(t)=n_0\bigl(1-e^{-kt}\bigr).
  • Logo, o número total de mols no vaso no tempo t é
n_{\text{tot}}(t)=n_A(t)+n_{\mathrm{CH}_4}(t)+n_{\mathrm{CO}}(t)=n_0 e^{-kt}+2n_0\bigl(1-e^{-kt}\bigr)=n_0\bigl(2-e^{-kt}\bigr).
  • Como o volume V e a temperatura T são constantes, pela equação dos gases ideais P\propto n. Assim a pressão total P(t) satisfaz
P(t)=P_0\frac{n_{\text{tot}}(t)}{n_0}=P_0\bigl(2-e^{-kt}\bigr).

Passo 4

Substituir os valores e calcular e^{-kt}.
  • Temos k=0,0212\\ \mathrm{min}^{-1} e t=50\\ \mathrm{min}. Então
kt = 0,0212\times 50 = 1,06.
  • Calcular e^{-kt}=e^{-1,06}. Podemos estimar por fatores:
    • e^{-1}\approx 0,367879,
    • e^{-0,06} pode ser aproximado por 1-0,06+\tfrac{(0,06)^2}{2}\approx 1-0,06+0,0018=0,9418.
    • Multiplicando: e^{-1,06}\approx 0,367879\times 0,9418\approx 0,3465.
  • Então
e^{-kt}\approx 0,34648\quad(\text{aproximação}).çã

Passo 5

Calcular a pressão total final.
  • Usando a fórmula obtida:
P(50)=P_0\bigl(2-e^{-kt}\bigr)=2,0\\ \mathrm{atm}\times\bigl(2-0,34648\bigr).
  • Calcular 2-0,34648=1,65352.
  • Portanto
P(50)\approx 2,0\times 1,65352 = 3,30704\\ \mathrm{atm}.
  • Arredondando sensivelmente (dados têm três algarismos significativos em k e dois em P_0), podemos expressar como 3,31\\ \mathrm{atm}.

Resposta

P(50\\ \mathrm{min})=3,31\\ \mathrm{atm}

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