Considere a reação de decomposição em fase gasosa
\mathrm{A}_{(\mathrm{g})} \rightarrow \mathrm{B}_{(\mathrm{g})}+\mathrm{C}_{(\mathrm{g})}+\mathrm{D}_{(\mathrm{g})}
a qual segue uma cinética de ordem 1 / 2. Um vaso de reação de 10 L é inicialmente carregado, numa dada temperatura, com uma mistura de 15 mols de A e 5 mols de uma espécie inerte diluente, a uma pressão de 1 atmosfera. Para estas condições, após 50 minutos verificou-se que a pressão do sistema se elevou a 2 atmosferas, sem variação de temperatura. Assumindo que a mistura gasosa se comporta como gás ideal, pede-se determinar o valor da taxa específica de reação.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Reação: \mathrm{A}_{(\mathrm{g})}\rightarrow\mathrm{B}_{(\mathrm{g})}+\mathrm{C}_{(\mathrm{g})}+\mathrm{D}_{(\mathrm{g})}.
  • Ordem cinética: 1/2 (ou seja, a lei da velocidade é proporcional a [\mathrm{A}]^{1/2}).
  • Volume do vaso: V=10\\ \mathrm{L}.
  • Condição inicial: 15 mols de \mathrm{A} e 5 mols de inerte (total inicial de 20 mols) a p_{\mathrm{inicial}}=1\\ \mathrm{atm}.
  • Após t=50 minutos, a pressão passa para p_{\mathrm{final}}=2\\ \mathrm{atm}, temperatura constante e comportamento de gás ideal.
  • Pede-se determinar o valor da taxa específica de reação k (constante de velocidade) para a lei de ordem 1/2.

Passo 2

Determinar quanto de \mathrm{A} reagiu a partir da variação de pressão usando o modelo de gás ideal a T e V constantes.
  • Pelo gás ideal pV = nRT e como V, R e T são constantes, tem-se p \propto n. Logo
\frac{p_{\mathrm{final}}}{p_{\mathrm{inicial}}}=\frac{n_{\mathrm{final}}}{n_{\mathrm{inicial}}}.
  • Inicialmente n_{\mathrm{inicial}}=15+5=20 mols.
  • Se x for a quantidade de \mathrm{A} que reagiu (mols), então após reação:
    • \mathrm{A} restante: 15-x mol,
    • produtos: cada um formou x mol, total de produtos 3x mol,
    • inerte permanece 5 mol.
    • Assim n_{\mathrm{final}}=(15-x)+3x+5=20+2x.
  • Usando a relação das pressões:
\frac{2}{1}=\frac{20+2x}{20}\quad\Rightarrow\quad 2=1+\frac{x}{10}\quad\Rightarrow\quad x=10\\ \text{mol}.
  • Conclusão: reagiram x=10 mol de \mathrm{A}. Então resta \mathrm{A}=15-10=5 mol.

Passo 3

Calcular as concentrações (em mol L^{-1}) inicial e no tempo t=50 min.
  • Volume V=10\\ \mathrm{L}.
  • Concentração inicial:
[\mathrm{A}]_0=\frac{15}{10}=1{,}5\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.
  • Concentração em t=50 min:
[\mathrm{A}]_{50}=\frac{5}{10}=0{,}5\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.

Passo 4

Escrever a lei da velocidade e explicar como integrar para obter k.
  • Para ordem 1/2 a lei é
-\frac{d[\mathrm{A}]}{dt}=k\,[\mathrm{A}]^{1/2},
onde:
  • [\mathrm{A}] é a concentração de \mathrm{A} em \mathrm{mol\;L^{-1}},
  • t é o tempo (aqui em minutos),
  • k é a constante de velocidade cuja unidade será tal que o lado direito tenha unidade de \mathrm{mol\;L^{-1}\;min^{-1}}. Assim k tem unidade \mathrm{(mol\;L^{-1})^{1/2}\;min^{-1}} ou, abreviando, \mathrm{M^{1/2}\;min^{-1}}.
  • Resolver a equação diferencial por separação de variáveis:
\frac{d[\mathrm{A}]}{[\mathrm{A}]^{1/2}}=-k\,dt.
Integral dos dois lados:
\int_{[\mathrm{A}]_0}^{[\mathrm{A}]_t} [\mathrm{A}]^{-1/2}\,d[\mathrm{A}] = -k\int_{0}^{t} dt.
A primitiva de [\mathrm{A}]^{-1/2} é 2[\mathrm{A}]^{1/2}. Portanto:
2\bigl([\mathrm{A}]_t^{1/2}-[\mathrm{A}]_0^{1/2}\bigr) = -k\,t.
Rearranjando:
k=\frac{2\bigl([\mathrm{A}]_0^{1/2}-[\mathrm{A}]_t^{1/2}\bigr)}{t}.
Essa fórmula dá k diretamente a partir das concentrações inicial e em tempo t.

Passo 5

Substituir os valores numéricos e calcular k.
  • Usar [\mathrm{A}]_0=1{,}5\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}, [\mathrm{A}]_{50}=0{,}5\\ \mathrm{mol\;L^{-1}} e t=50\\ \mathrm{min}.
  • Aplicando a fórmula:
k=\frac{2\bigl(\sqrt{1{,}5}-\sqrt{0{,}5}\bigr)}{50}.
  • Calcular os radicais (mostrar passo a passo):
    • \sqrt{1{,}5}\approx 1{,}2247449,
    • \sqrt{0{,}5}\approx 0{,}7071068.
  • Diferença:
\sqrt{1{,}5}-\sqrt{0{,}5}\approx 1{,}2247449-0{,}7071068=0{,}5176381.
  • Multiplicando por 2:
2\cdot 0{,}5176381=1{,}0352762.
  • Dividindo por 50\\ \mathrm{min}:
k\approx\frac{1{,}0352762}{50}=0{,}0207055\\ \mathrm{M^{1/2}\;min^{-1}}.
  • Arredondando para quatro algarismos significativos:
k\approx 0{,}02071\\ \mathrm{M^{1/2}\;min^{-1}}.

Resposta

k\approx 0{,}02071\\ \mathrm{M^{1/2}\;min^{-1}}

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