[01] (4,0) Determine as soluções das equações diferenciais de 1^a ordem abaixo:
(i) d yd x=1+x^2-2 x y+y^2, y0=x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial de primeira ordem que foi dada:
dydx = 1 + x^2 - 2xy + y^2, y0 = x
Aqui, a gente vai precisar usar conceitos de equações diferenciais de primeira ordem. Vamos identificar o tipo de equação e aplicar os métodos apropriados para achar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na equação:
dydx = 1 + x^2 - 2xy + y^2
A gente pode reorganizar os termos para facilitar a análise:
dydx = y^2 - 2xy + x^2 + 1
Percebe que os termos y^2 - 2xy + x^2 formam um quadrado perfeito. Vamos reescrever isso para simplificar.

Passo 3

Vamos completar o quadrado nos termos envolvendo y e x :
y^2 - 2xy + x^2 = (y - x)^2
Então, a equação fica:
dydx = (y - x)^2 + 1
Isso sugere que podemos usar uma substituição para tornar a equação mais simples.

Passo 4

Vamos fazer uma substituição para facilitar. Definimos:
v = y - x
Dessa forma, podemos escrever y = v + x . Agora, vamos derivar y em relação a x :
dydx = dvdx + 1
Substituindo na equação original:
dvdx + 1 = v^2 + 1
Simplificando:
dvdx = v^2

Passo 5

Agora, temos uma equação diferencial separável:
dvdx = v^2
Vamos separar as variáveis:
dvv^2 = dx
Pronto para integrar dos dois lados.

Passo 6

Vamos integrar:
integral dvv^2 = integral dx
As integrais são:
- 1v = x + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Resolvendo para v :
v = -1x + C
Lembrando que v = y - x , substituímos de volta:
y - x = -1x + C
Então, a solução geral é:
y = x - 1x + C

Passo 8

Agora, aplicamos a condição inicial y0 = x . Isso geralmente significa quando x = 0 , y = 0 :
0 = 0 - 10 + C
Simplificando:
0 = -1C
Para isso ser verdadeiro, C teria que ser infinito, o que não faz sentido. Isso indica que a solução particular é a solução trivial y = x .

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y = x

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