[01]
Determine as soluções das equações diferenciais de
ordem abaixo:
(i)
(i)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial de primeira ordem que foi dada:
Aqui, a gente vai precisar usar conceitos de equações diferenciais de primeira ordem. Vamos identificar o tipo de equação e aplicar os métodos apropriados para achar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na equação:
A gente pode reorganizar os termos para facilitar a análise:
Percebe que os termos
formam um quadrado perfeito. Vamos reescrever isso para simplificar.
Passo 3
Vamos completar o quadrado nos termos envolvendo
e
:
Então, a equação fica:
Isso sugere que podemos usar uma substituição para tornar a equação mais simples.
Passo 4
Vamos fazer uma substituição para facilitar. Definimos:
Dessa forma, podemos escrever
. Agora, vamos derivar
em relação a
:
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Passo 5
Agora, temos uma equação diferencial separável:
Vamos separar as variáveis:
Pronto para integrar dos dois lados.
Passo 6
Vamos integrar:
As integrais são:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Resolvendo para
:
Lembrando que
, substituímos de volta:
Então, a solução geral é:
Passo 8
Agora, aplicamos a condição inicial
. Isso geralmente significa quando
,
:
Simplificando:
Para isso ser verdadeiro,
teria que ser infinito, o que não faz sentido. Isso indica que a solução particular é a solução trivial
.
Resposta
A solução da equação diferencial é: