[01]
Determine as soluções das equações diferenciais de
ordem abaixo:
(ii)
(ii)
Passo 1
O enunciado pede as soluções da equação diferencial de primeira ordem
que é uma equação autônoma e separável. Vamos resolver por separação de variáveis e depois verificar soluções constantes.
Passo 2
Escrevendo
, temos
Separamos as variáveis passando todos os termos em
para a esquerda e
para a direita:
Passo 3
Para integrar o lado esquerdo, fazemos frações parciais:
Multiplicando por
vem
logo
e
. Assim
e
.
Passo 4
Substituindo em
e integrando:
Reescrevendo,
Passo 5
Elevando exponencial e definindo
C1=e^C , obtém-se
Absorvendo sinal e valor absoluto em
C ,
Passo 6
As soluções constantes vêm de
y(y-1)=0 (isto é,
y'=0 ), dando
Resposta
As soluções da equação diferencial
,y'+y-y^2=0 são
onde
C é constante arbitrária.