[01] (4,0) Determine as soluções das equações diferenciais de 1^a ordem abaixo:
(ii) y^prime+y-y^2=0

Passo 1

O enunciado pede as soluções da equação diferencial de primeira ordem
y' + y - y^2 = 0,
que é uma equação autônoma e separável. Vamos resolver por separação de variáveis e depois verificar soluções constantes.

Passo 2

Escrevendo y'=dydx, temos
dydx=y^2 - y = y(y-1)
Separamos as variáveis passando todos os termos em y para a esquerda e dx para a direita:
dyy(y-1) = dx

Passo 3

Para integrar o lado esquerdo, fazemos frações parciais:
1y(y-1)=Ay+By-1
Multiplicando por y(y-1) vem
1=A(y-1)+B,y=(A+B),y - A,
logo A+B=0 e -A=1. Assim A=-1 e B=1.

Passo 4

Substituindo em dyy(y-1) e integrando:
integrall(-1y+1y-1r),dy=integral 1,dx Longrightarrow -ln|y|+ln|y-1|=x+C
Reescrevendo,
lnl|y-1yr|=x+C

Passo 5

Elevando exponencial e definindo C1=e^C, obtém-se
l|y-1yr|=C1e^x
Absorvendo sinal e valor absoluto em C,
y-1y=Ce^x ;Longrightarrow; y-1=C,y,e^x ;Longrightarrow; y,(1-Ce^x)=1 ;Longrightarrow; y=11-Ce^x

Passo 6

As soluções constantes vêm de y(y-1)=0 (isto é, y'=0), dando
y(x)equiv 0 e y(x)equiv 1

Resposta

As soluções da equação diferencial ,y'+y-y^2=0 são
y(x)=0, y(x)=1, y(x)=11 - C,e^x,
onde C é constante arbitrária.

Exercícios relacionados