01 - Três cargas puntiformes estão dispostas em linha reta. A carga \mathrm{q}_{3}=+6,0 \mathrm{nC} está na origem. A carga \mathrm{q}_{2}=-2,0 \mathrm{nC} está em \mathrm{x}=+4,00 \mathrm{~cm}. A carga \mathrm{q}_{1} está em \mathrm{x}=-3,00 \mathrm{~cm}. Determine q 1 (módulo e sinal), quando a força resultante sobre \mathrm{q}_{3} for igual a zero. ( \mathbf{2 , 0} pontos)

Passo 1

O enunciado pede que a força resultante sobre a carga \mathrm{q}_3 seja zero, encontrando o valor (módulo e sinal) de \mathrm{q}_1. Dados fornecidos:
\mathrm{q}_3 = +6{,}0\\ \mathrm{nC},
\mathrm{q}_2 = -2{,}0\\ \mathrm{nC},
x_3 = 0\\ (\text{origem}),\quad x_2 = +4{,}00\\ \mathrm{cm},\quad x_1 = -3{,}00\\ \mathrm{cm}.
Pergunta: determinar \mathrm{q}_1 (módulo e sinal) tal que a força resultante sobre \mathrm{q}_3 seja nula.

Passo 2

Vamos lembrar a lei usada: a Lei de Coulomb dá a magnitude da força entre duas cargas pontuais. Em forma de fórmula:
F = k\frac{|q_a q_b|}{r^2},
onde:
  • F é a magnitude da força elétrica entre as cargas (em newtons);
  • k é a constante eletrostática, k\approx 8{,}99\times 10^{9}\\ \mathrm{N\,m^2/C^2};
  • q_a e q_b são as cargas (em coulombs);
  • r é a distância entre as cargas (em metros).
    Importante: a fórmula dá a magnitude; o sentido (direção) da força depende dos sinais das cargas (mesmo sinal = repulsão; sinais opostos = atração). Para somar forças vetoriais numa reta, tratamos sinais positivos/negativos segundo a direção escolhida (por exemplo, +x para a direita, -x para a esquerda).

Passo 3

Identificação das direções das forças sobre \mathrm{q}_3:
  • A carga \mathrm{q}_2=-2{,}0\\ \mathrm{nC} está à direita de \mathrm{q}_3 e tem sinal oposto a \mathrm{q}_3 (que é positiva). Portanto \mathrm{q}_3 é atraída por \mathrm{q}_2, ou seja, a força \vec{F}_{23} aponta para a direita ( +x).
  • A carga \mathrm{q}_1 está à esquerda de \mathrm{q}_3. Para que a força resultante sobre \mathrm{q}_3 seja zero, a força de \mathrm{q}_1 sobre \mathrm{q}_3, \vec{F}_{13}, deve ter direção oposta à de \vec{F}_{23}; como \vec{F}_{23} é para a direita, \vec{F}_{13} deve apontar para a esquerda. Isso significa que \mathrm{q}_1 deve ter sinal oposto ao de \mathrm{q}_3. Como \mathrm{q}_3 é positiva, concluímos que \mathrm{q}_1 deve ser negativa (atrairá \mathrm{q}_3 para a esquerda).
    Resumo: \mathrm{q}_1 tem sinal negativo.

Passo 4

Equilibrando magnitudes (pois as direções serão opostas):
F_{13} = F_{23}.
Aplicando Coulomb e cancelando constantes e o fator |\mathrm{q}_3| que aparece em ambos os lados, obtemos:
\frac{|\mathrm{q}_1|}{d_{13}^2}=\frac{|\mathrm{q}_2|}{d_{23}^2},
onde d_{13} é a distância entre \mathrm{q}_1 e \mathrm{q}_3 e d_{23} entre \mathrm{q}_2 e \mathrm{q}_3.
Calcule as distâncias (em metros):
d_{13}=|x_1-x_3| = |-3{,}00\\ \text{cm} - 0| = 3{,}00\\ \text{cm} = 0{,}0300\\ \mathrm{m},
d_{23}=|x_2-x_3| = |4{,}00\\ \text{cm} - 0| = 4{,}00\\ \text{cm} = 0{,}0400\\ \mathrm{m}.
Substituindo na relação:
|\mathrm{q}_1| = |\mathrm{q}_2|\left(\frac{d_{13}}{d_{23}}\right)^2.
Agora inserimos números. Primeiro converter |\mathrm{q}_2|=2{,}0\\ \mathrm{nC}=2{,}0\times 10^{-9}\\ \mathrm{C}:
|\mathrm{q}_1| = 2{,}0\times 10^{-9}\\ \mathrm{C}\times\left(\frac{0{,}0300}{0{,}0400}\right)^2.
Calcule a fração:
\left(\frac{0{,}0300}{0{,}0400}\right)^2 = \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16} = 0{,}5625.
Portanto
|\mathrm{q}_1| = 2{,}0\times 10^{-9}\times 0{,}5625 = 1{,}125\times 10^{-9}\\ \mathrm{C}.

Passo 5

Converter para unidades mais usuais (nanocoulomb):
1{,}125\times 10^{-9}\\ \mathrm{C} = 1{,}125\\ \mathrm{nC}.
Como determinamos no Passo 3 que \mathrm{q}_1 deve ser negativa (atração para a esquerda), o valor final é
\mathrm{q}_1 = -1{,}125\\ \mathrm{nC}.
Considerando algarismos significativos dos dados ( \mathrm{q}_2=-2{,}0\\ \mathrm{nC} tem duas casas significativas), é razoável apresentar \mathrm{q}_1 com duas casas significativas: -1{,}1\\ \mathrm{nC}. Se quiser precisão máxima dos cálculos, pode manter -1{,}125\\ \mathrm{nC}.

Resposta

\mathrm{q}_1 = -1{,}125\\ \mathrm{nC} (valor exato do cálculo)
(aproximadamente \mathrm{q}_1 = -1{,}13\\ \mathrm{nC} com três algarismos significativos, ou \mathrm{q}_1 = -1{,}1\\ \mathrm{nC} com duas)

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