86 A densidade de uma haste não uniforme de comprimento 1 m é dada por \rho(\mathrm{x})=\mathrm{a}\left(1+\mathrm{bx}^{2}\right), onde a e s são constantes e 0 \leq x \leq 1. Determine o centro de massa da haste.

Passo 1

O enunciado dá a densidade linear de uma haste não uniforme e pede o centro de massa. Dados e o que é pedido:
  • A densidade linear é \rho(x)=a\bigl(1+bx^{2}\bigr), com a e b constantes.
  • O intervalo da haste é 0\le x\le 1.
  • Pergunta: determinar o centro de massa (a coordenada \bar{x}) da haste.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (interpretação e significado das variáveis):
  • O centro de massa de uma haste unidimensional ao longo do eixo x é a média ponderada das posições com a densidade como peso:
\bar{x}=\frac{1}{M}\int_{0}^{1} x\,\rho(x)\,dx,
onde M é a massa total da haste,
M=\int_{0}^{1}\rho(x)\,dx.
Aqui x é a posição ao longo da haste, \rho(x) é a densidade em cada ponto, M é a soma (integral) de todas as massas pequenas dm=\rho(x)\,dx. A integral de um polinômio segue a regra básica
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1},
que usaremos para calcular as integrais definidas de 0 a 1.

Passo 3

Calcular a massa total M:
Substituindo \rho(x) em M,
M=\int_{0}^{1} a\bigl(1+bx^{2}\bigr)\,dx = a\int_{0}^{1}\bigl(1+bx^{2}\bigr)\,dx.
Agora integramos termo a termo:
\int_{0}^{1}1\,dx = \left[x\right]_{0}^{1}=1, \qquad \int_{0}^{1}x^{2}\,dx = \left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{3}.
Portanto
M = a\Bigl(1 + b\cdot\frac{1}{3}\Bigr)=a\Bigl(1+\frac{b}{3}\Bigr).

Passo 4

Calcular o numerador N=\int_{0}^{1} x\,\rho(x)\,dx:
N=\int_{0}^{1} x\cdot a\bigl(1+bx^{2}\bigr)\,dx = a\int_{0}^{1}\bigl(x + b x^{3}\bigr)\,dx.
Integramos termo a termo:
\int_{0}^{1} x\,dx = \left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{2}, \qquad \int_{0}^{1} x^{3}\,dx = \left[\frac{x^{4}}{4}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{4}.
Logo
N = a\Bigl(\frac{1}{2} + b\cdot\frac{1}{4}\Bigr)=a\Bigl(\frac{2+b}{4}\Bigr).

Passo 5

Calcular \bar{x}=\dfrac{N}{M} e simplificar:
\bar{x}=\frac{a\bigl(\frac{2+b}{4}\bigr)}{a\bigl(1+\frac{b}{3}\bigr)}.
O fator a cancela:
\bar{x}=\frac{\frac{2+b}{4}}{1+\frac{b}{3}}.
Colocando em forma racional comum: 1+\dfrac{b}{3}=\dfrac{3+b}{3}. Portanto
\bar{x}=\frac{\dfrac{2+b}{4}}{\dfrac{3+b}{3}} =\frac{2+b}{4}\cdot\frac{3}{3+b} =\frac{3(2+b)}{4(3+b)}.
Esta é a expressão simplificada do centro de massa.

Passo 6

Verificação rápida de consistência (intuição):
  • Se b=0 (densidade constante \rho=a), então
\bar{x}=\frac{3(2+0)}{4(3+0)}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2},
o que está correto para uma haste uniforme.
  • Se b cresce muito, a densidade pende para a extremidade x=1 e \bar{x} tende para \tfrac{3}{4}, indicando deslocamento para a direita — faz sentido qualitativo.

Resposta

\displaystyle \bar{x}=\frac{3(2+b)}{4(3+b)}

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