86 A densidade de uma haste não uniforme de comprimento 1 m é dada por
, onde a e s são constantes e
. Determine o centro de massa da haste.
Passo 1
O enunciado dá a densidade linear de uma haste não uniforme e pede o centro de massa. Dados e o que é pedido:
- A densidade linear é
, com e constantes. - O intervalo da haste é
. - Pergunta: determinar o centro de massa (a coordenada
) da haste.
Passo 2
Fórmula que vamos usar (interpretação e significado das variáveis):
- O centro de massa de uma haste unidimensional ao longo do eixo
é a média ponderada das posições com a densidade como peso:
onde
é a massa total da haste,
Aqui
é a posição ao longo da haste,
é a densidade em cada ponto,
é a soma (integral) de todas as massas pequenas
. A integral de um polinômio segue a regra básica
que usaremos para calcular as integrais definidas de
a
.
Passo 3
Calcular a massa total
:
Substituindo em
,
Substituindo
Agora integramos termo a termo:
Portanto
Passo 4
Calcular o numerador
:
Integramos termo a termo:
Logo
Passo 5
Calcular
e simplificar:
O fator
cancela:
Colocando em forma racional comum:
. Portanto
Esta é a expressão simplificada do centro de massa.
Passo 6
Verificação rápida de consistência (intuição):
- Se
(densidade constante ), então
o que está correto para uma haste uniforme.
- Se
cresce muito, a densidade pende para a extremidade e tende para , indicando deslocamento para a direita — faz sentido qualitativo.