19 Se o módulo de força em “B” for 100 N , determine o módulo de força exercida pelo plano inclinado sobre a barra homogênea de 11 kg sabendo que todo o sistema está em repouso. ( \mathrm{g}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} )

Passo 1

O enunciado (e a imagem) nos dão as seguintes informações e pedem uma coisa clara:
  • O módulo da força em B é 100\\ \text{N}. (dado do enunciado)
  • A barra é homogênea e tem massa 11\\ \text{kg}. (dado do enunciado)
  • Há um bloco de 0{,}7\\ \text{kg} apoiado sobre a barra. (dado do enunciado e indicado na imagem)
  • Todo o sistema está em repouso (equilíbrio estático). (dado do enunciado)
  • g=10\\ \text{m/s}^2. (dado)
  • O contato em B é com uma superfície lisa (logo a força em B é normal à superfície; na imagem essa normal é mostrada como a direção do raio do semicírculo).
  • Na imagem há um ângulo marcado de 74^\circ relativo ao raio que liga o centro do semicírculo ao ponto B. Vou usar esse valor como o ângulo que a força em B faz com a horizontal. Aviso: estou assumindo explicitamente que o ângulo 74^\circ mostrado na figura é medido a partir da horizontal até a direção da força em B. Se a interpretação do ângulo fosse outra (por exemplo, a partir da vertical), o resultado numérico mudaria.
O que nos pedem: determinar o módulo da força resultante que o plano inclinado (no ponto A) exerce sobre a barra — isto é, o módulo da reação em A.

Passo 2

Vamos listar as forças que atuam na barra (e onde atuam), para depois aplicar as condições de equilíbrio:
  • Peso da própria barra: é P_{\text{barra}} = m_{\text{barra}}\cdot g = 11\cdot 10 = 110\\ \text{N}. Age verticalmente para baixo, aplicado no centro geométrico da barra (por ser homogênea).
  • Peso do bloco sobre a barra: P_{\text{bloco}} = m_{\text{bloco}}\cdot g = 0{,}7\cdot 10 = 7\\ \text{N}. Age verticalmente para baixo, aplicado no ponto onde o bloco está apoiado (na figura perto do lado de A). Para equilíbrio de forças resultantes só importa a soma vertical dos pesos, já que ambos são verticais.
  • Força externa em B: \mathbf{R}_B de módulo 100\\ \text{N}, direção igual à normal ao semicírculo (assumimos que faz 74^\circ com a horizontal, lido na imagem).
  • Reação no plano em A: \mathbf{R}_A (desconhecida em módulo). Como o plano é rugoso, \mathbf{R}_A pode ter componente normal e componente de atrito; não precisamos separá-las se quisermos apenas o módulo do resultado: trabalhamos com as componentes R_{Ax} e R_{Ay} e depois obtemos |\mathbf{R}_A|=\sqrt{R_{Ax}^2+R_{Ay}^2}.
Observação didática: em equilíbrio estático a soma vetorial de todas as forças que atuam na barra é nula:
\sum \mathbf{F} = \mathbf{0}.
Isso se traduz em duas equações escalares (horizontal e vertical) porque todas as forças estão no plano.

Passo 3

Calculemos primeiro o peso total que deve ser sustentado verticalmente pelas reações:
P_{\text{total}} = P_{\text{barra}} + P_{\text{bloco}} = 110 + 7 = 117\\ \text{N}.
Explicação: os dois pesos são vetores verticais para baixo; no equilíbrio a soma das componentes verticais das reações em A e B deve compensar esses 117\\ \text{N}.

Passo 4

Agora decompomos \mathbf{R}_B em componentes horizontal e vertical. Pela nossa suposição (ângulo de 74^\circ a partir da horizontal), a força em B tem componentes:
R_{Bx} = 100\cos(74^\circ),\qquad R_{By} = 100\sin(74^\circ).
Observação sobre sinais: pela figura a força em B aponta para a esquerda e para cima (ela empurra a barra na direção do centro do semicírculo). Tomando o eixo x positivo para a direita e y positivo para cima, teremos
R_{Bx} = -\,100\cos(74^\circ),\qquad R_{By} = +\,100\sin(74^\circ).
Agora calculamos numericamente (usei valores trigonométricos aproximados; vou mostrar como obtê‑los sem calculadora: \cos74^\circ\approx 0{,}2756 e \sin74^\circ\approx 0{,}9613):
R_{Bx}\approx -100\cdot 0{,}2756 = -27{,}56\\ \text{N},
R_{By}\approx 100\cdot 0{,}9613 = 96{,}13\\ \text{N}.

Passo 5

Escrevemos as equações de equilíbrio em componentes. Soma das forças horizontais igual a zero:
\sum F_x:\quad R_{Ax} + R_{Bx} = 0.
Logo
R_{Ax} = -R_{Bx} \approx -(-27{,}56) = 27{,}56\\ \text{N}.
Soma das forças verticais igual a zero:
\sum F_y:\quad R_{Ay} + R_{By} - P_{\text{total}} = 0.
Logo
R_{Ay} = P_{\text{total}} - R_{By} = 117 - 96{,}13 = 20{,}87\\ \text{N}.
Interpretação: a componente vertical da reação em A é relativamente pequena porque a maior parte do peso é suportada pela componente vertical da força em B.

Passo 6

Agora que temos as componentes R_{Ax} e R_{Ay}, calculamos o módulo da reação em A usando o teorema de Pitágoras:
|\mathbf{R}_A| = \sqrt{R_{Ax}^2 + R_{Ay}^2}.
Substituindo os valores numéricos:
|\mathbf{R}_A| \approx \sqrt{(27{,}56)^2 + (20{,}87)^2}.
Vamos calcular passo a passo (para você poder fazer sem calculadora, aproximando):
(27{,}56)^2 \approx 759{,}5,\qquad (20{,}87)^2 \approx 435{,}6,
\text{soma} \approx 759{,}5 + 435{,}6 = 1\,195{,}1,
|\mathbf{R}_A| \approx \sqrt{1\,195{,}1} \approx 34{,}57\\ \text{N}.

Passo 7

Interpretação final e checagem rápida: faz sentido físico que a reação em A seja relativamente pequena, porque a força em B tem uma componente vertical grande (cerca de 96\\ \text{N}), sustentando a maior parte do peso total 117\\ \text{N}. A componente horizontal em A equilibra a horizontal da força em B.

Resposta

34,6 N

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