Q. 02 Calcule o limite ou explique porque ele não existe.
\lim _{x \rightarrow 2^{+}} \frac{x^{2}+3 x+1}{x^{2}+x-6},

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite lateral
\lim_{x\to 2^{+}} \frac{x^{2}+3x+1}{x^{2}+x-6}.
Informações dadas:
  • A função a analisar é \dfrac{x^{2}+3x+1}{x^{2}+x-6}.
  • O limite é unicamente pela direita de x=2 (ou seja, aproximando-se de 2 com x>2).
  • Não há outras informações adicionais fornecidas.

Passo 2

Primeiro passo técnico: avaliar o que acontece no numerador e no denominador quando x tende a 2.
Calcular o numerador em x=2:
2^{2}+3\cdot2+1 = 4+6+1 = 11,
logo o numerador tende para \,11, que é um número finito e positivo.
Fatorar o denominador:
x^{2}+x-6 = (x-2)(x+3).
Em x=2 o denominador vale 0 porque o fator (x-2) anula.

Passo 3

Interpretação geral: quando uma razão de duas funções tem o numerador tendendo a um número diferente de zero e o denominador tendendo a zero, o limite tende para infinito ou menos infinito (não existe como número finito). Para saber qual infinito (positivo ou negativo) é preciso analisar o sinal do numerador e do denominador ao aproximar-se de 2 pela direita.

Passo 4

Analisar o sinal do numerador perto de x=2.
O numerador é um polinômio x^{2}+3x+1, que é contínuo. Como em x=2 ele vale 11>0, então para x suficientemente próximo de 2 (tanto pela direita quanto pela esquerda) o numerador permanece positivo. Em particular, para x\to 2^{+} o numerador é positivo e tende a \,11.

Passo 5

Analisar o sinal do denominador perto de x=2 usando a fatoração (x-2)(x+3).
  • O fator x+3 em x=2 vale 5, que é positivo, e é contínuo, logo próximo de 2 esse fator permanece positivo.
  • O fator x-2 para x>2 é positivo, e vai para 0 quando x\to 2^{+}.
Portanto, para x\to 2^{+} o denominador (x-2)(x+3) é um produto de um número pequeno positivo por outro positivo (aproximadamente 5), ou seja, o denominador tende para 0^{+} (zero pela direita, isto é, valores positivos que vão a zero).

Passo 6

Combinar sinais: numerador tende para 11>0; denominador tende para 0^{+}. Assim a razão tende para um número positivo cujo denominador vai para zero, o que faz a fração crescer sem limite positivo.
Logo
\frac{x^{2}+3x+1}{x^{2}+x-6}\longrightarrow +\infty\quad\text{quando }x\to 2^{+}.

Passo 7

Interpretação final: o limite não existe como número real finito — diverge para infinito positivo. Em notação de limites, escreve-se \lim_{x\to 2^{+}} \dfrac{x^{2}+3x+1}{x^{2}+x-6}=+\infty.

Resposta

+\infty

Exercícios relacionados