Q. 02 Calcule o limite ou explique porque ele não existe.
,
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite lateral
Informações dadas:
- A função a analisar é
. - O limite é unicamente pela direita de
(ou seja, aproximando-se de com ). - Não há outras informações adicionais fornecidas.
Passo 2
Primeiro passo técnico: avaliar o que acontece no numerador e no denominador quando
tende a
.
Calcular o numerador em
:
logo o numerador tende para
, que é um número finito e positivo.
Fatorar o denominador:
Em
o denominador vale
porque o fator
anula.
Passo 3
Interpretação geral: quando uma razão de duas funções tem o numerador tendendo a um número diferente de zero e o denominador tendendo a zero, o limite tende para infinito ou menos infinito (não existe como número finito). Para saber qual infinito (positivo ou negativo) é preciso analisar o sinal do numerador e do denominador ao aproximar-se de
pela direita.
Passo 4
Analisar o sinal do numerador perto de
.
O numerador é um polinômio
, que é contínuo. Como em
ele vale
, então para
suficientemente próximo de
(tanto pela direita quanto pela esquerda) o numerador permanece positivo. Em particular, para
o numerador é positivo e tende a
.
Passo 5
Analisar o sinal do denominador perto de
usando a fatoração
.
- O fator
em vale , que é positivo, e é contínuo, logo próximo de esse fator permanece positivo. - O fator
para é positivo, e vai para quando .
Portanto, para
o denominador
é um produto de um número pequeno positivo por outro positivo (aproximadamente
), ou seja, o denominador tende para
(zero pela direita, isto é, valores positivos que vão a zero).
Passo 6
Combinar sinais: numerador tende para
; denominador tende para
. Assim a razão tende para um número positivo cujo denominador vai para zero, o que faz a fração crescer sem limite positivo.
Logo
Passo 7
Interpretação final: o limite não existe como número real finito — diverge para infinito positivo. Em notação de limites, escreve-se
.