Q. 01 Determine cada limite:
\lim _{h \rightarrow-4} \frac{\sqrt{2\left(h^{2}-8\right)}+4}{h+4},

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{h\to-4}\frac{\sqrt{2\left(h^{2}-8\right)}+4}{h+4}.
Informações dadas:
  • A função é f(h)=\dfrac{\sqrt{2\left(h^{2}-8\right)}+4}{h+4}.
  • O ponto de interesse é h=-4.
  • É preciso determinar o limite quando h tende a -4 (limite bilateral). Se for necessário, devemos analisar também os limites laterais.

Passo 2

Verificar substituição direta para ver a forma do limite. Substituindo h=-4 temos:
h^{2}=(-4)^{2}=16, \qquad h^{2}-8=16-8=8,
2\big(h^{2}-8\big)=2\cdot8=16, \qquad \sqrt{2\big(h^{2}-8\big)}=\sqrt{16}=4.
Portanto o numerador tende para
\sqrt{2\big(h^{2}-8\big)}+4 \to 4+4=8,
enquanto o denominador tende para
h+4 \to -4+4=0.
Logo a forma é \dfrac{8}{0}, isto é, o numerador tende a uma constante positiva e o denominador tende a zero. Isso sugere um comportamento infinito (divergência), mas é preciso analisar os sinais para determinar os limites laterais.

Passo 3

Analisar domínio e sinal do numerador perto de h=-4.
  • Domínio: para que a raiz esteja definida é necessário 2\big(h^{2}-8\big)\ge 0, ou seja h^{2}\ge 8, logo |h|\ge \sqrt{8}=2\sqrt{2}. O ponto h=-4 satisfaz isso e valores próximos (por exemplo -4{,}1 e -3{,}9) também satisfazem, então podemos aproximar por ambos os lados.
  • Sinal do numerador: a função \sqrt{2(h^{2}-8)} é não negativa e contínua onde definida; como em h=-4 ela vale 4, para h suficientemente próximo de -4 o valor da raiz estará perto de 4, portanto o numerador \sqrt{2(h^{2}-8)}+4 será próximo de 8 e, em particular, positivo. Em termos simples: para h perto de -4 tem-se
\sqrt{2(h^{2}-8)}+4>0.

Passo 4

Analisar sinal do denominador e os limites laterais.
  • Se h\to-4^{+} (aproximação pela direita, isto é h>-4 e h muito próximo de -4), então h+4>0 e muito pequeno positivo. Como o numerador tende para uma constante positiva, o quociente tende para +\infty. Assim
\lim_{h\to-4^{+}}\frac{\sqrt{2(h^{2}-8)}+4}{h+4}=+\infty.
  • Se h\to-4^{-} (aproximação pela esquerda, isto é h<-4 e h muito próximo de -4), então h+4<0 e muito pequeno negativo. Com numerador positivo, o quociente tende para -\infty. Assim
\lim_{h\to-4^{-}}\frac{\sqrt{2(h^{2}-8)}+4}{h+4}=-\infty.

Passo 5

Concluir sobre o limite bilateral. Como os limites laterais não coincidem (um é +\infty e o outro é -\infty), o limite bilateral não existe. Em linguagem de prova: o limite diverge e não há limite finito; os limites laterais são infinitos com sinais opostos, logo o limite quando h\to-4 não existe.

Resposta

Não existe; \displaystyle \lim_{h\to-4^{-}}\frac{\sqrt{2(h^{2}-8)}+4}{h+4}=-\infty e \displaystyle \lim_{h\to-4^{+}}\frac{\sqrt{2(h^{2}-8)}+4}{h+4}=+\infty.

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