Q. 01 Determine cada limite:
,
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- A função é
. - O ponto de interesse é
. - É preciso determinar o limite quando
tende a (limite bilateral). Se for necessário, devemos analisar também os limites laterais.
Passo 2
Verificar substituição direta para ver a forma do limite. Substituindo
temos:
Portanto o numerador tende para
enquanto o denominador tende para
Logo a forma é
, isto é, o numerador tende a uma constante positiva e o denominador tende a zero. Isso sugere um comportamento infinito (divergência), mas é preciso analisar os sinais para determinar os limites laterais.
Passo 3
Analisar domínio e sinal do numerador perto de
.
- Domínio: para que a raiz esteja definida é necessário
, ou seja , logo . O ponto satisfaz isso e valores próximos (por exemplo e ) também satisfazem, então podemos aproximar por ambos os lados. - Sinal do numerador: a função
é não negativa e contínua onde definida; como em ela vale , para suficientemente próximo de o valor da raiz estará perto de , portanto o numerador será próximo de e, em particular, positivo. Em termos simples: para perto de tem-se
Passo 4
Analisar sinal do denominador e os limites laterais.
- Se
(aproximação pela direita, isto é e muito próximo de ), então e muito pequeno positivo. Como o numerador tende para uma constante positiva, o quociente tende para . Assim
- Se
(aproximação pela esquerda, isto é e muito próximo de ), então e muito pequeno negativo. Com numerador positivo, o quociente tende para . Assim
Passo 5
Concluir sobre o limite bilateral. Como os limites laterais não coincidem (um é
e o outro é
), o limite bilateral não existe. Em linguagem de prova: o limite diverge e não há limite finito; os limites laterais são infinitos com sinais opostos, logo o limite quando
não existe.
Resposta
Não existe;
e
.