Q. 02 Calcule o limite ou explique porque ele não existe.
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2 x+5}{\sqrt{2 x^{2}-5}}\,,

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to\infty}\frac{2x+5}{\sqrt{2x^{2}-5}}.
Informações dadas:
  • A variável x tende para +\infty.
  • A expressão envolve um numerador linear em x e um denominador com raiz quadrada de um polinômio de grau 2 em x.
    O que se pede: encontrar o valor desse limite ou justificar que ele não existe.

Passo 2

Vamos manipular o denominador para expor o comportamento em termos de potências de x. Primeiro fatoramos x^{2} dentro da raiz:
\sqrt{2x^{2}-5}=\sqrt{x^{2}\!\left(2-\frac{5}{x^{2}}\right)}.
Lembre que \sqrt{x^{2}}=|x|. Portanto
\sqrt{2x^{2}-5}=|x|\sqrt{2-\frac{5}{x^{2}}}.
Explicação didática: ao tirar x^{2} de dentro da raiz usa-se a propriedade \sqrt{a b}=\sqrt{a}\sqrt{b}. Como \sqrt{x^{2}}=|x|, aparece o valor absoluto. Para x\to\infty temos |x|=x, porque x é positivo e tende ao infinito.

Passo 3

Usando o resultado anterior, escrevemos a fração como
\frac{2x+5}{\sqrt{2x^{2}-5}}=\frac{2x+5}{|x|\sqrt{2-\dfrac{5}{x^{2}}}}.
Para x\to\infty podemos substituir |x|=x e dividir numerador e denominador por x (isso facilita ver os termos que tendem a zero):
\frac{2x+5}{x\sqrt{2-\dfrac{5}{x^{2}}}} =\frac{2+\dfrac{5}{x}}{\sqrt{2-\dfrac{5}{x^{2}}}}.
Agora usamos limites simples: \dfrac{5}{x}\to 0 e \dfrac{5}{x^{2}}\to 0 quando x\to\infty. Como a função \sqrt{\cdot} é contínua em 2, podemos substituir os limites dentro da raiz. Assim
\lim_{x\to\infty}\frac{2+\dfrac{5}{x}}{\sqrt{2-\dfrac{5}{x^{2}}}} =\frac{2+0}{\sqrt{2-0}}=\frac{2}{\sqrt{2}}.

Passo 4

Simplificamos a fração obtida:
\frac{2}{\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}.
Portanto o limite é \sqrt{2}.

Passo 5

Interpretação alternativa (intuição útil para prova): para x grande o termo dominante do numerador é 2x e do radicando é 2x^{2}, então a raiz domina como \sqrt{2}\,|x|. Para x\to+\infty isso dá
\frac{2x}{\sqrt{2}\,x}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2},
confirmando o resultado anterior.

Resposta

\sqrt{2}

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