Q. 02 Calcule o limite ou explique porque ele não existe.
,
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- A variável
tende para . - A expressão envolve um numerador linear em
e um denominador com raiz quadrada de um polinômio de grau 2 em .
O que se pede: encontrar o valor desse limite ou justificar que ele não existe.
Passo 2
Vamos manipular o denominador para expor o comportamento em termos de potências de
. Primeiro fatoramos
dentro da raiz:
Lembre que
. Portanto
Explicação didática: ao tirar
de dentro da raiz usa-se a propriedade
. Como
, aparece o valor absoluto. Para
temos
, porque
é positivo e tende ao infinito.
Passo 3
Usando o resultado anterior, escrevemos a fração como
Para
podemos substituir
e dividir numerador e denominador por
(isso facilita ver os termos que tendem a zero):
Agora usamos limites simples:
e
quando
. Como a função
é contínua em
, podemos substituir os limites dentro da raiz. Assim
Passo 4
Simplificamos a fração obtida:
Portanto o limite é
.
Passo 5
Interpretação alternativa (intuição útil para prova): para
grande o termo dominante do numerador é
e do radicando é
, então a raiz domina como
. Para
isso dá
confirmando o resultado anterior.