02 - Considerando o estudo da estática dos fluidos, explique porque um determinado corpo parece ser mais leve quando imerso em um líquido (água, por exemplo). Como Arquimedes usou esta informação para provar que o ourives do rei grego à época havia substituído ouro por chumbo ( \rho \square \mathrm{b}=8862 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}< \rho_{\mathrm{a}} \mathrm{u}=19300 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ) sem precisar destruir a coroa.

Passo 1

O enunciado trata da estática dos fluidos e pede para explicar por que um corpo imerso em líquido parece mais leve (princípio de Arquimedes) e, com isso, como Arquimedes descobriu que a coroa não era de ouro puro, apenas medindo sem destruí-la. Vamos usar o conceito de força de empuxo e a relação entre densidade, massa e volume para entender o fenômeno e o método de verificação de pureza.

Passo 2

Quando um corpo de massa \,m e volume \,V é submerso em um fluido de densidade \rho_{\text{f}}, o fluido exerce uma força de empuxo para cima igual ao peso do volume de fluido deslocado. Essa força de empuxo é
E \;=\;\rho_{\text{f}}\,g\,V
onde g é a aceleração da gravidade. Como o empuxo atua para cima, a força resultante para baixo (o “peso aparente”) fica reduzida.

Passo 3

O peso real do corpo no ar é
P_{\text{ar}} = m\,g.
Ao imergi-lo, o peso aparente no líquido é
P_{\text{ap}} = P_{\text{ar}} - E = m\,g \;-\;\rho_{\text{f}}\,g\,V.
Portanto, a diminuição de peso que sentimos é exatamente o empuxo E; é por isso que o corpo “parece” mais leve.

Passo 4

Arquimedes comparou a perda de peso na água da coroa com a perda de peso de um volume igual de ouro puro. Supondo que as massas no ar fossem iguais, ele mediu
\Delta P_{\text{coroa}} \quad\text{e}\quad \Delta P_{\text{ouro}}
onde cada \Delta P é o empuxo sofrido. Como
\Delta P = \rho_{\text{água}}\,g\,V,á
e V = m/\rho, obteve indiretamente a densidade de cada peça via
\rho = \frac{m}{V} = \frac{m}{\Delta P/(\rho_{\text{água}}\,g)}.á

Passo 5

Usando que \rho_{b}=8862\;\mathrm{kg/m^3}<\rho_{\mathrm{Au}}=19300\;\mathrm{kg/m^3}, se a coroa fosse puro ouro, sua perda de peso na água ( \Delta P_{\text{coroa}}) seria menor (volume menor) do que a de um bloco de ouro legítimo de mesma massa. Arquimedes viu que a coroa deslocava mais água (empuxo maior), portanto tinha densidade menor, logo continha metal mais leve (chumbo ou bronze) e não era ouro puro.

Resposta

O corpo imerso sofre um empuxo igual ao peso do fluido deslocado, reduzindo seu peso aparente. Arquimedes mediu a perda de peso na água da coroa e a de um bloco de ouro de igual massa; como a coroa perdeu mais peso (empuxo maior), sua densidade era menor que a do ouro puro, provando que havia sido adulterada.

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