Uma placa está paralela ao escoamento, que corresponde a uma corrente livre, de velocidade uniforme V=U_{0} i (na direção x). A pressão é admitida uniforme ao longo da placa e, assim, ela não exerce força resultante sobre a placa. Encontre a força de arrasto F_{a} em termos das propriedades do escoamento, \rho, U_{o}, \mathrm{u} (velocidade do escoamento ao longo da placa) e \delta (espessura da camada limite) e das dimensões L (comprimento) e b (espessura) da placa. [Exemplo livro do White]

Passo 1

O enunciado pede a força de arrasto F_{a} em uma placa de comprimento L e largura (espessura no terceiro eixo) b, submetida a um escoamento uniforme em x com velocidade livre U_{0}. Como a pressão é uniforme ao longo da placa, só há arrasto viscoso. Para resolver isso, vamos aplicar o balanço integral de quantidade de movimento na “fatia” do escoamento de espessura \delta (camada limite), usando as propriedades do escoamento \rho, U_{0}, o perfil de velocidade u(y) e \delta.

Passo 2

Em regime estacionário e sem variações em z, o arrasto total é dado pela integral da tensão de cisalhamento na parede:
F_{a} = b \int_{0}^{L} \tau_{w}(x)\,\mathrm{d}x,
onde
\tau_{w}(x) = \mu\left.\frac{\partial u}{\partial y}\right|_{y=0}.
Em vez de nos prendermos a \mu, aplicamos o teorema integral de quantidade de movimento na região 0\le y\le \delta(x). O resultado desse balanço é
\tau_{w}(x) = \rho \,\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \int_{0}^{\delta(x)} u(y)\,\bigl[\,U_{0}-u(y)\bigr]\;\mathrm{d}y.

Passo 3

Substituindo esse \tau_{w} em F_{a} e integrando em x de 0 a L:
F_{a} = b \int_{0}^{L} \rho \,\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \int_{0}^{\delta(x)} u\,(U_{0}-u)\,\mathrm{d}y\;\mathrm{d}x = \rho\,b\, \Bigl[\, \int_{0}^{\delta(x)} u\,(U_{0}-u)\,\mathrm{d}y \Bigr]_{x=0}^{x=L}.
Na borda de entrada ( x=0) a camada limite ainda não se formou ( \delta(0)=0), então essa contribuição é zero.

Passo 4

No extremo x=L a camada limite atingiu espessura \delta. Logo obtemos
F_{a} = \rho\,b \int_{0}^{\delta}u(y)\,\bigl[\,U_{0}-u(y)\bigr]\;\mathrm{d}y.
Para evidenciar U_{0}, pode-se escrever
F_{a} = \rho\,b\,U_{0}^{2} \int_{0}^{\delta} \frac{u}{U_{0}} \Bigl(1-\frac{u}{U_{0}}\Bigr) \mathrm{d}y.

Resposta

F_{a} = \rho\,b \int_{0}^{\delta}u(y)\,\bigl[\,U_{0}-u(y)\bigr]\;\mathrm{d}y \quad\text{ou}\quad F_{a} = \rho\,b\,U_{0}^{2} \int_{0}^{\delta} \frac{u}{U_{0}} \Bigl(1-\frac{u}{U_{0}}\Bigr) \mathrm{d}y.

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