(02) Encontre o resultado para \sum_{x=20}^{30}\binom{40}{x}(7 / 8)^{x}(1 / 8)^{40-x}

Passo 1

O enunciado pede o valor da soma
\sum_{x=20}^{30}\binom{40}{x}\bigl(\tfrac{7}{8}\bigr)^{x}\bigl(\tfrac{1}{8}\bigr)^{40-x}.
Reconhecemos que, se X\sim\mathrm{Binomial}(n=40,p=\tfrac{7}{8}), então essa soma é
P(20 \le X \le 30).

Passo 2

Para avaliar P(20\le X\le30) podemos usar a aproximação pelo modelo normal, com correção de continuidade, já que n é razoavelmente grande. Primeiro, calculamos média e variância de X:
\mu = np = 40\cdot\tfrac{7}{8} = 35,
\sigma^2 = np(1-p) = 40\cdot\tfrac{7}{8}\cdot\tfrac{1}{8} = 4{,}375,
\sigma = \sqrt{4{,}375}\approx 2{,}09.

Passo 3

Usamos correção de continuidade:
P(20\le X\le30)\approx P\bigl(19{,}5 < X < 30{,}5\bigr).
Padronizando em Z\sim N(0,1):
Z = \frac{X - \mu}{\sigma},
vemos que
z_1 = \frac{19{,}5 - 35}{2{,}09}\approx -7{,}42, \quad z_2 = \frac{30{,}5 - 35}{2{,}09}\approx -2{,}15.

Passo 4

Pelas tabelas da normal padrão:
\Phi(-7{,}42)\approx 0, \qquad \Phi(-2{,}15)\approx 0{,}0158.
Como
P(20\le X\le30)\approx \Phi(z_2)-\Phi(z_1),
temos
P(20\le X\le30)\approx 0{,}0158 - 0 = 0{,}0158.

Resposta

A soma vale, aproximadamente,
0{,}0158.

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