X (02) Encontre o resultado para \sum_{x=20}^{30}\binom{40}{x}(7 / 10)^{x}(3 / 10)^{40-x}

Passo 1

O enunciado pede a soma
\sum_{x=20}^{30}\binom{40}{x}\bigl(\tfrac{7}{10}\bigr)^{x}\bigl(\tfrac{3}{10}\bigr)^{40-x},
que é a probabilidade de uma variável aleatória X\sim \mathrm{Bin}(n=40,p=0{,}7) satisfazer 20\le X\le30. Vamos usar a aproximação normal com correção de continuidade para avaliar esse intervalo.

Passo 2

Para aplicar a aproximação normal lembramos que, se X\sim\mathrm{Bin}(n,p), então aproximadamente
X\approx N\bigl(\mu=n\,p,\\ \sigma^2=n\,p\,(1-p)\bigr).
Aqui
\mu=40\cdot0{,}7=28, \qquad \sigma^2=40\cdot0{,}7\cdot0{,}3=8{,}4,
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\sigma=\sqrt{8{,}4}\approx2{,}898.

Passo 3

Usamos correção de continuidade convertendo o evento 20\le X\le30 em
19{,}5 < X < 30{,}5.
Transformamos em Z-scores pela fórmula
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.

Passo 4

Calculamos os dois Z-scores:
z_1=\frac{19{,}5-28}{2{,}898}\approx\frac{-8{,}5}{2{,}898}\approx-2{,}93, \qquad z_2=\frac{30{,}5-28}{2{,}898}\approx\frac{2{,}5}{2{,}898}\approx0{,}86.

Passo 5

Consultando a tabela da normal padrão N(0,1):
\Phi(0{,}86)\approx0{,}8051, \qquad \Phi(-2{,}93)=1-\Phi(2{,}93)\approx1-0{,}9983=0{,}0017.
A probabilidade aproximada é
P(20\le X\le30)\approx \Phi(0{,}86)-\Phi(-2{,}93) \approx0{,}8051-0{,}0017=0{,}8034\approx0{,}80.

Resposta

A soma vale aproximadamente 0{,}80.

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