Ex-02 Um foguete defeituoso se move no plano xy (o sentido positivo do eixo vertical y está para cima). Sabendo que a aceleração do foguete é
e quando o foguete está na origem o vetor velocidade é
(a) Determine o vetor posição em função de
;
(b) Qual a altura máxima atingida pelo foguete?
(a) Determine o vetor posição em função de
(b) Qual a altura máxima atingida pelo foguete?
Passo 1
Dados do enunciado e o que se pede.
- A aceleração do foguete é
- Quando o foguete está na origem, o vetor velocidade é
Vou interpretar esse instante como ; portanto as condições iniciais são:
(origem) e - Perguntas:
(a) Determinar o vetor posição em função de.
(b) Determinar a altura máxima atingida pelo foguete (analisar para o intervalo de tempo relevante).
Passo 2
Relacionamento entre aceleração e velocidade e como obter
.
-
Conceito usado: aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, isto é
. Para obter integramos em relação a . -
Integramos componente a componente.Para a componente
(vetor ): Para a componente(vetor ): -
Determinamos as constantes de integração usando
. Isso significa e . - De
segue . - De
segue .
- De
-
Portanto a velocidade é
Passo 3
Integrar
para obter
(posição).
-
Conceito: velocidade é a derivada da posição,
. Para obter integramos . -
Integração componente a componente.Componente
: Componente: -
Usamos a condição inicial
para obter e : -
-
Assim a posição é
Passo 4
Entender o que significa “altura máxima” e como encontrá-la.
-
A “altura” é a coordenada
. Um extremo máximo local de ocorre quando a velocidade vertical é nula, isto é , e a segunda derivada é negativa naquele ponto. -
Já temos
. Resolvendo obtemos as raízes -
Agora examinamos qual dessas raízes é relevante fisicamente e se corresponde a máximo:
- Segundo derivada de
: - Em
: , portanto é um ponto de máximo local. - Em
: , logo é um mínimo local (a coordenada ).
- Segundo derivada de
-
Interpretação no tempo físico:
- Se estamos interessados no movimento a partir do instante em que o foguete está na origem (
) e consideramos apenas (tempo futuro), observe que para temos . Ou seja, para a componente vertical da velocidade é sempre positiva e a posição cresce continuamente. - Consequência: não existe um tempo finito
em que a velocidade vertical se anule novamente; portanto não há altura máxima atingida para — a altura cresce sem limite no futuro imediato (matematicamente quando , dominado pelo termo ). - Se, por outro lado, permitirmos tempos anteriores ao instante
(isto é considerar todo ), existe um máximo local em . Calculamos essa altura:
- Se estamos interessados no movimento a partir do instante em que o foguete está na origem (
Resposta
(a)
(b) Para
não há altura máxima finita (a altura cresce sem limite,
quando
).
Se considerar todo , há um máximo local em
com altura
.
Se considerar todo