Ex-02 Um foguete defeituoso se move no plano xy (o sentido positivo do eixo vertical y está para cima). Sabendo que a aceleração do foguete é \vec{a}=3 t^{2} \hat{i}+(1+2 t) \hat{j} e quando o foguete está na origem o vetor velocidade é \overrightarrow{\vec{v}}=-2 \overrightarrow{\vec{i}}
(a) Determine o vetor posição em função de t;
(b) Qual a altura máxima atingida pelo foguete?

Passo 1

Dados do enunciado e o que se pede.
  • A aceleração do foguete é \vec{a}(t)=3t^{2}\,\hat{i}+(1+2t)\,\hat{j}.
  • Quando o foguete está na origem, o vetor velocidade é \vec{v}=-2\,\hat{i}. Vou interpretar esse instante como t=0; portanto as condições iniciais são:
    \vec{r}(0)=\vec{0} (origem) e \vec{v}(0)=-2\,\hat{i}.
  • Perguntas:
    (a) Determinar o vetor posição em função de t.
    (b) Determinar a altura máxima atingida pelo foguete (analisar para o intervalo de tempo relevante).

Passo 2

Relacionamento entre aceleração e velocidade e como obter \vec{v}(t).
  • Conceito usado: aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, isto é \vec{a}(t)=\dfrac{d\vec{v}}{dt}. Para obter \vec{v}(t) integramos \vec{a}(t) em relação a t.
  • Integramos componente a componente.
    Para a componente x (vetor \hat{i}):
    \frac{dv_x}{dt}=3t^{2}\quad\Longrightarrow\quad v_x(t)=\int 3t^{2}\,dt = t^{3}+C_x.
    Para a componente y (vetor \hat{j}):
    \frac{dv_y}{dt}=1+2t\quad\Longrightarrow\quad v_y(t)=\int(1+2t)\,dt = t + t^{2}+C_y.
  • Determinamos as constantes de integração usando \vec{v}(0)=-2\,\hat{i}. Isso significa v_x(0)=-2 e v_y(0)=0.
    • De v_x(0)=0^{3}+C_x=-2 segue C_x=-2.
    • De v_y(0)=0+0+C_y=0 segue C_y=0.
  • Portanto a velocidade é
    \vec{v}(t)=\bigl(t^{3}-2\bigr)\,\hat{i}+\bigl(t+t^{2}\bigr)\,\hat{j}.

Passo 3

Integrar \vec{v}(t) para obter \vec{r}(t) (posição).
  • Conceito: velocidade é a derivada da posição, \vec{v}(t)=\dfrac{d\vec{r}}{dt}. Para obter \vec{r}(t) integramos \vec{v}(t).
  • Integração componente a componente.
    Componente x:
    \frac{dx}{dt}=t^{3}-2\quad\Longrightarrow\quad x(t)=\int (t^{3}-2)\,dt = \frac{t^{4}}{4}-2t + C_1.
    Componente y:
    \frac{dy}{dt}=t+t^{2}\quad\Longrightarrow\quad y(t)=\int (t+t^{2})\,dt = \frac{t^{2}}{2}+\frac{t^{3}}{3} + C_2.
  • Usamos a condição inicial \vec{r}(0)=\vec{0} para obter C_1 e C_2:
    • x(0)=0 \Rightarrow C_1=0.
    • y(0)=0 \Rightarrow C_2=0.
  • Assim a posição é
    \vec{r}(t)=\left(\frac{t^{4}}{4}-2t\right)\hat{i}+\left(\frac{t^{2}}{2}+\frac{t^{3}}{3}\right)\hat{j}.

Passo 4

Entender o que significa “altura máxima” e como encontrá-la.
  • A “altura” é a coordenada y(t). Um extremo máximo local de y(t) ocorre quando a velocidade vertical é nula, isto é v_y(t)=\dfrac{dy}{dt}=0, e a segunda derivada é negativa naquele ponto.
  • Já temos v_y(t)=t+t^{2}=t(1+t). Resolvendo v_y(t)=0 obtemos as raízes
    t=0\quad\text{e}\quad t=-1.
  • Agora examinamos qual dessas raízes é relevante fisicamente e se corresponde a máximo:
    • Segundo derivada de y: y''(t)=\frac{d}{dt}(v_y)=\frac{d}{dt}(t+t^{2})=1+2t.
    • Em t=-1: y''(-1)=1+2(-1)=-1<0, portanto t=-1 é um ponto de máximo local.
    • Em t=0: y''(0)=1>0, logo t=0 é um mínimo local (a coordenada y(0)=0).
  • Interpretação no tempo físico:
    • Se estamos interessados no movimento a partir do instante em que o foguete está na origem ( t=0) e consideramos apenas t\ge 0 (tempo futuro), observe que para t>0 temos v_y(t)=t+t^{2}>0. Ou seja, para t>0 a componente vertical da velocidade é sempre positiva e a posição y(t) cresce continuamente.
    • Consequência: não existe um tempo finito t>0 em que a velocidade vertical se anule novamente; portanto não há altura máxima atingida para t\ge 0 — a altura cresce sem limite no futuro imediato (matematicamente y(t)\to +\infty quando t\to +\infty, dominado pelo termo \tfrac{t^{3}}{3}).
    • Se, por outro lado, permitirmos tempos anteriores ao instante t=0 (isto é considerar todo t\in\mathbb{R}), existe um máximo local em t=-1. Calculamos essa altura: y(-1)=\frac{(-1)^{2}}{2}+\frac{(-1)^{3}}{3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}.

Resposta

(a) \displaystyle \vec{r}(t)=\left(\frac{t^{4}}{4}-2t\right)\hat{i}+\left(\frac{t^{2}}{2}+\frac{t^{3}}{3}\right)\hat{j}.
(b) Para t\ge 0 não há altura máxima finita (a altura cresce sem limite, y(t)\to+\infty quando t\to+\infty).
Se considerar todo t\in\mathbb{R}, há um máximo local em t=-1 com altura y(-1)=\dfrac{1}{6}.

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