Ex-03 Uma particula percorre a circunferência definida pela equação x^{2}+y^{2}=4 segundo a equação horária s=2 t^{2}. Determine:
  • A velocidade da particula em \boldsymbol{t}=\mathbf{1} \mathrm{s}.
  • O vetor velocidade;

Passo 1

O enunciado dá uma partícula que se move sobre a circunferência definida por \;x^{2}+y^{2}=4\; e fornece a equação horária do deslocamento ao longo da curva (arc‑comprimento)
s(t)=2\,t^{2}.
Pede-se:
  1. A velocidade escalar (a rapidez) da partícula em \;t=1\\ \mathrm{s}.\n
  2. O vetor velocidade (isto é, \mathbf{v}(t) ou suas componentes).\n
    Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A circunferência tem raio \;R=2\; (pois x^{2}+y^{2}=4\Rightarrow R=\sqrt{4}=2).\n
  • O arc‑comprimento ao longo da circunferência é \;s(t)=2t^{2}.\n
  • Tempo de interesse para a primeira pergunta: \;t=1\\ \mathrm{s}.

Passo 2

Relação entre arc‑comprimento e ângulo polar numa circunferência: para uma circunferência de raio \;R\; o arco subtendido por um ângulo \theta (em radianos) tem comprimento
s = R\,\theta.
Isto vem da definição de radiano: \theta = \dfrac{s}{R}. Aplicando ao nosso caso, com \;R=2\; e \;s(t)=2t^{2}, obtemos o ângulo que a posição da partícula faz com o eixo x:
\theta(t)=\frac{s(t)}{R}=\frac{2t^{2}}{2}=t^{2}.
Observação: como s(0)=0, escolhemos a referência angular \theta(0)=0 (a partícula parte do ponto (2,0) se assim quisermos).

Passo 3

Cinemática escalar (rapidez): a velocidade escalar (rapidez) é a derivada do arc‑comprimento em relação ao tempo:
v_{\text{esc}}(t)=\frac{ds}{dt}.
Derivando \;s(t)=2t^{2}\; pelo tempo usando regra de potência:
\frac{ds}{dt}=4t.
Portanto a rapidez em tempo genérico é \;v_{\text{esc}}(t)=4t\;. Avaliando em \;t=1\\ \mathrm{s}:
v_{\text{esc}}(1)=4\cdot 1=4\\ \mathrm{m/s}.
(Usei unidades implícitas metros para o comprimento e segundos para o tempo — a resposta final fica com \mathrm{m/s}.)

Passo 4

Parametrização das coordenadas x(t),y(t) a partir de \theta(t): numa circunferência de raio \;R=2\; com ângulo \theta(t) medido a partir do eixo x,
x(t)=R\cos\theta(t),\qquad y(t)=R\sin\theta(t).
Substituindo \theta(t)=t^{2} e R=2,
x(t)=2\cos\bigl(t^{2}\bigr),\qquad y(t)=2\sin\bigl(t^{2}\bigr).
Explicação rápida: esta é a parametrização polar convertida para coordenadas cartesianas; \theta(t) dá a posição angular ao longo da circunferência, e \cos e \sin transformam para x e y.

Passo 5

Derivando as componentes para obter o vetor velocidade — uso da regra da cadeia: se u(t)=\cos\bigl(t^{2}\bigr), então
\frac{d}{dt}\cos\bigl(t^{2}\bigr) = -\sin\bigl(t^{2}\bigr)\cdot\frac{d}{dt}(t^{2}) = -\sin\bigl(t^{2}\bigr)\cdot 2t.
Aplicando isso a x(t)=2\cos(t^{2}):
\dot{x}(t)=\frac{dx}{dt}=2\cdot\bigl(-\sin(t^{2})\cdot 2t\bigr)=-4t\sin\bigl(t^{2}\bigr).
E a y(t)=2\sin(t^{2}), derivando:
\dot{y}(t)=\frac{dy}{dt}=2\cdot\bigl(\cos(t^{2})\cdot 2t\bigr)=4t\cos\bigl(t^{2}\bigr).
Logo o vetor velocidade (componentes) é
\mathbf{v}(t)=\bigl(\dot{x}(t),\,\dot{y}(t)\bigr)=\bigl(-4t\sin(t^{2}),\;4t\cos(t^{2})\bigr).
Pequena interpretação: a velocidade é tangente à circunferência; as componentes envolvem t (venho da velocidade angular \dot\theta=2t) e funções trigonométricas de t^{2}.

Passo 6

Checagem da consistência entre rapidez escalar e norma do vetor velocidade: calcule a norma de \mathbf{v}(t):
\|\mathbf{v}(t)\|=\sqrt{(-4t\sin(t^{2}))^{2}+(4t\cos(t^{2}))^{2}}=4t\sqrt{\sin^{2}(t^{2})+\cos^{2}(t^{2})}=4t,
pois \sin^{2}+\cos^{2}=1. Isso coincide com v_{\text{esc}}(t)=4t obtida antes — tudo coerente.

Passo 7

Avaliação numérica do vetor velocidade em \;t=1\\ \mathrm{s}: substituir t=1 em \mathbf{v}(t):
\mathbf{v}(1)=\bigl(-4\cdot 1\cdot\sin(1),\;4\cdot 1\cdot\cos(1)\bigr)=\bigl(-4\sin(1),\;4\cos(1)\bigr)\\ \mathrm{m/s}.
Se quiser aproximações decimais (apenas para conferir): \sin(1)\approx 0{,}84147, \cos(1)\approx 0{,}54030, logo
\mathbf{v}(1)\approx\bigl(-3{,}3659,\;2{,}1612\bigr)\\ \mathrm{m/s},
e a norma \sqrt{(-3{,}3659)^{2}+2{,}1612^{2}}\approx 4{,}00\\ \mathrm{m/s}, como esperado.

Resposta

4\\ \mathrm{m/s}\n
\mathbf{v}(t)=\bigl(-4t\sin(t^{2}),\;4t\cos(t^{2})\bigr)\\ \mathrm{m/s}

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