Ex-03 Uma particula percorre a circunferência definida pela equação
segundo a equação horária
. Determine:
- A velocidade da particula em
.
- O vetor velocidade;
Passo 1
O enunciado dá uma partícula que se move sobre a circunferência definida por
e fornece a equação horária do deslocamento ao longo da curva (arc‑comprimento)
Pede-se:
- A velocidade escalar (a rapidez) da partícula em
.\n - O vetor velocidade (isto é,
ou suas componentes).\n
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A circunferência tem raio
(pois ).\n - O arc‑comprimento ao longo da circunferência é
.\n - Tempo de interesse para a primeira pergunta:
Passo 2
Relação entre arc‑comprimento e ângulo polar numa circunferência: para uma circunferência de raio
o arco subtendido por um ângulo
(em radianos) tem comprimento
Isto vem da definição de radiano:
. Aplicando ao nosso caso, com
e
, obtemos o ângulo que a posição da partícula faz com o eixo
:
Observação: como
, escolhemos a referência angular
(a partícula parte do ponto
se assim quisermos).
Passo 3
Cinemática escalar (rapidez): a velocidade escalar (rapidez) é a derivada do arc‑comprimento em relação ao tempo:
Derivando
pelo tempo usando regra de potência:
Portanto a rapidez em tempo genérico é
. Avaliando em
:
(Usei unidades implícitas metros para o comprimento e segundos para o tempo — a resposta final fica com
.)
Passo 4
Parametrização das coordenadas
a partir de
: numa circunferência de raio
com ângulo
medido a partir do eixo
,
Substituindo
e
,
Explicação rápida: esta é a parametrização polar convertida para coordenadas cartesianas;
dá a posição angular ao longo da circunferência, e
e
transformam para
e
.
Passo 5
Derivando as componentes para obter o vetor velocidade — uso da regra da cadeia: se
, então
Aplicando isso a
:
E a
, derivando:
Logo o vetor velocidade (componentes) é
Pequena interpretação: a velocidade é tangente à circunferência; as componentes envolvem
(venho da velocidade angular
) e funções trigonométricas de
.
Passo 6
Checagem da consistência entre rapidez escalar e norma do vetor velocidade: calcule a norma de
:
pois
. Isso coincide com
obtida antes — tudo coerente.
Passo 7
Avaliação numérica do vetor velocidade em
: substituir
em
:
Se quiser aproximações decimais (apenas para conferir):
,
, logo
e a norma
, como esperado.