Um gás diatómico é comprimido isobaricamente para 1 / 8 de seu volume inicial. Qual ou quais das grandezas abaixo sofrem variação? Em caso alirmativo, ela aumenta ou diminui, e por qual fator? Em caso negativo, por que nüs?
( 0,5 ponto) a. A velocidade rms.
( 0,5 ponto) b. O livre caminho médio.
( 0,5 ponto) c. A energia térmica do gés.
( 0,5 ponto) d. O calor especifico molar a volume constante.

Passo 1

O enunciado diz que um gás diatômico é comprimido isobaricamente (ou seja, à pressão constante) até ficar com 1/8 do volume inicial. Preciso responder, para cada item abaixo, se a grandeza sofre variação; se sim, indicar se aumenta ou diminui e por qual fator; se não, justificar por quê. As perguntas são:
a. A velocidade rms do gás?
b. O livre caminho médio?
c. A energia térmica (energia interna) do gás?
d. O calor específico molar a volume constante?
Informações relevantes fornecidas:
  • Processo isobárico: a pressão P é mantida constante.
  • Volume final V_f = \tfrac{1}{8}V_i.
  • Gás diatômico (assumimos comportamento de gás ideal e que só translação + rotação contribuem, i.e., f=5 graus de liberdade no regime clássico).
  • Número de mols do gás permanece o mesmo durante o processo.

Passo 2

Primeiro relacionamento útil: usar a equação dos gases ideais para ligar P, V e T. Para uma quantidade fixa de gás (mesmos mols) temos
PV=nR T.
Como P e n são os mesmos antes e depois, compare as situações inicial e final:
P V_i = nR T_i,\qquad P V_f = nR T_f.
Dividindo termo a termo:
\frac{V_f}{V_i}=\frac{T_f}{T_i}.
Como V_f/V_i=1/8, obtemos imediatamente
T_f = \frac{1}{8}\,T_i.
Ou seja: sob compressão isobárica até 1/8 do volume, a temperatura do gás também cai para 1/8 da temperatura inicial.

Passo 3

A velocidade rms (root-mean-square) das moléculas de um gás ideal está relacionada à temperatura por
v_{\text{rms}}=\sqrt{\frac{3k_B T}{m}}=\sqrt{\frac{3R T}{M}},
onde k_B é a constante de Boltzmann, m é a massa de uma molécula, R é a constante dos gases e M é a massa molar. O ponto importante: v_{\text{rms}}\propto\sqrt{T}.
Como T_f/T_i=1/8, temos
\frac{v_{\text{rms},f}}{v_{\text{rms},i}}=\sqrt{\frac{T_f}{T_i}}=\sqrt{\frac{1}{8}}=\frac{1}{\sqrt{8}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}.
Conclusão: a velocidade rms diminui, ficando multiplicada por 1/\sqrt{8} (aprox. 0,3536).

Passo 4

Definição e fórmula: o livre caminho médio \lambda para um gás ideal de moléculas com seção de choque \sigma é
\lambda=\frac{1}{\sqrt{2}\,n\,\sigma},
onde n é a densidade numérica de moléculas ( n=N/V) e \sigma é a seção de choque (por exemplo \sigma=\pi d^2 se d for o diâmetro efetivo das moléculas). Usando a equação dos gases ideais para a densidade numérica n (não confundir com número de mols),
n=\frac{p}{k_B T}.
Substituindo em \lambda,
\lambda=\frac{k_B T}{\sqrt{2}\,\sigma\,p}.
Assim \lambda\propto T/p. Como o processo é isobárico ( p constante), segue que \lambda é proporcional a T. Como T_f/T_i=1/8, então
\frac{\lambda_f}{\lambda_i}=\frac{T_f}{T_i}=\frac{1}{8}.
Conclusão: o livre caminho médio diminui, multiplicando-se por 1/8.
Observação prática: isso pressupõe que a seção de choque \sigma não muda (diâmetro molecular constante) e que as aproximações do gás ideal valem.

Passo 5

Para um gás ideal diatômico no regime clássico, a energia interna total U depende apenas da temperatura e do número de mols; a expressão molar é
U=\frac{f}{2}\,n_{\text{mols}}\,R\,T,
onde f é o número de graus de liberdade ativos (assumimos f=5 para diatômicos: 3 translação + 2 rotação) e n_{\text{mols}} é o número de mols. Assim U\propto T quando a quantidade de gás é fixa.
Como T_f/T_i=1/8, então
\frac{U_f}{U_i}=\frac{T_f}{T_i}=\frac{1}{8}.
Conclusão: a energia térmica (energia interna) diminui, sendo multiplicada por 1/8.

Passo 6

Definição e propriedade: o calor específico molar a volume constante C_V para um gás ideal, no regime clássico, é dado por
C_V=\frac{d}{dT}\left(\frac{U}{n_{\text{mols}}}\right)=\frac{f}{2}R,
onde f é o número de graus de liberdade. Isso é uma propriedade intrínseca do tipo de molécula (e de quais graus de liberdade estão ativos) e não depende de T (no modelo clássico) nem do volume do processo. Para um diatômico clássico com f=5,
C_V=\frac{5}{2}R,
constante.
Portanto, sob a compressão isobárica dada, C_V não se altera. Observação: em temperaturas muito baixas efeitos quânticos podem “congelar” graus de liberdade vibracionais e até rotacionais, mudando o valor efetivo de C_V; aqui assumimos o regime em que f=5 permanece válido.

Resposta

a. Diminui; fator \dfrac{1}{\sqrt{8}}=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}.
b. Diminui; fator \dfrac{1}{8}.
c. Diminui; fator \dfrac{1}{8}.
d. Não varia; C_V permanece igual a \dfrac{5}{2}R (no modelo clássico para gás diatômico).

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