Um gás diatómico é comprimido isobaricamente para
de seu volume inicial. Qual ou quais das grandezas abaixo sofrem variação? Em caso alirmativo, ela aumenta ou diminui, e por qual fator? Em caso negativo, por que nüs?
( 0,5 ponto) a. A velocidade rms.
( 0,5 ponto) b. O livre caminho médio.
( 0,5 ponto) c. A energia térmica do gés.
( 0,5 ponto) d. O calor especifico molar a volume constante.
( 0,5 ponto) a. A velocidade rms.
( 0,5 ponto) b. O livre caminho médio.
( 0,5 ponto) c. A energia térmica do gés.
( 0,5 ponto) d. O calor especifico molar a volume constante.
Passo 1
O enunciado diz que um gás diatômico é comprimido isobaricamente (ou seja, à pressão constante) até ficar com
do volume inicial. Preciso responder, para cada item abaixo, se a grandeza sofre variação; se sim, indicar se aumenta ou diminui e por qual fator; se não, justificar por quê. As perguntas são:
a. A velocidade rms do gás?
b. O livre caminho médio?
c. A energia térmica (energia interna) do gás?
d. O calor específico molar a volume constante?
a. A velocidade rms do gás?
b. O livre caminho médio?
c. A energia térmica (energia interna) do gás?
d. O calor específico molar a volume constante?
Informações relevantes fornecidas:
- Processo isobárico: a pressão
é mantida constante. - Volume final
. - Gás diatômico (assumimos comportamento de gás ideal e que só translação + rotação contribuem, i.e.,
graus de liberdade no regime clássico). - Número de mols do gás permanece o mesmo durante o processo.
Passo 2
Primeiro relacionamento útil: usar a equação dos gases ideais para ligar
,
e
. Para uma quantidade fixa de gás (mesmos mols) temos
Como
e
são os mesmos antes e depois, compare as situações inicial e final:
Dividindo termo a termo:
Como
, obtemos imediatamente
Ou seja: sob compressão isobárica até
do volume, a temperatura do gás também cai para
da temperatura inicial.
Passo 3
A velocidade rms (root-mean-square) das moléculas de um gás ideal está relacionada à temperatura por
onde
é a constante de Boltzmann,
é a massa de uma molécula,
é a constante dos gases e
é a massa molar. O ponto importante:
.
Como
, temos
Conclusão: a velocidade rms diminui, ficando multiplicada por
(aprox. 0,3536).
Passo 4
Definição e fórmula: o livre caminho médio
para um gás ideal de moléculas com seção de choque
é
onde
é a densidade numérica de moléculas (
) e
é a seção de choque (por exemplo
se
for o diâmetro efetivo das moléculas). Usando a equação dos gases ideais para a densidade numérica
(não confundir com número de mols),
Substituindo em
,
Assim
. Como o processo é isobárico (
constante), segue que
é proporcional a
. Como
, então
Conclusão: o livre caminho médio diminui, multiplicando-se por
.
Observação prática: isso pressupõe que a seção de choque
não muda (diâmetro molecular constante) e que as aproximações do gás ideal valem.
Passo 5
Para um gás ideal diatômico no regime clássico, a energia interna total
depende apenas da temperatura e do número de mols; a expressão molar é
onde
é o número de graus de liberdade ativos (assumimos
para diatômicos:
translação +
rotação) e
é o número de mols. Assim
quando a quantidade de gás é fixa.
Como
, então
Conclusão: a energia térmica (energia interna) diminui, sendo multiplicada por
.
Passo 6
Definição e propriedade: o calor específico molar a volume constante
para um gás ideal, no regime clássico, é dado por
onde
é o número de graus de liberdade. Isso é uma propriedade intrínseca do tipo de molécula (e de quais graus de liberdade estão ativos) e não depende de
(no modelo clássico) nem do volume do processo. Para um diatômico clássico com
,
constante.
Portanto, sob a compressão isobárica dada,
não se altera. Observação: em temperaturas muito baixas efeitos quânticos podem “congelar” graus de liberdade vibracionais e até rotacionais, mudando o valor efetivo de
; aqui assumimos o regime em que
permanece válido.
Resposta
a. Diminui; fator
.
b. Diminui; fator .
c. Diminui; fator .
d. Não varia; permanece igual a
(no modelo clássico para gás diatômico).
b. Diminui; fator
c. Diminui; fator
d. Não varia;