02 OBF 2001 Uma partícula realiza um movimento circular uniforme. Sobre tal situação, podese afirmar que:
(a) a velocidade da partícula muda constantemente de direção e sua aceleração tem valor constante e não nulo.
(b) o movimento é certamente acelerado, sendo a aceleração da partícula paralela à direção da sua velocidade.
(c) visto que o movimento é uniforme, a aceleração da partícula é nula.
(d) o vetor velocidade aponta para o centro da trajetória circular, sendo perpendicular ao vetor aceleração.
(e) o ângulo formado entre os vetores velocidade e aceleração varia ao longo da trajetória.

Passo 1

O enunciado dá uma partícula que realiza um movimento circular uniforme (MCU) e pede para escolher qual das alternativas (a)–(e) está correta. Informações importantes do enunciado:
  • A partícula descreve uma trajetória circular de raio R.
  • O movimento é uniforme, isto é, a rapidez (módulo da velocidade) é constante.
    As alternativas são exatamente as cinco frases do enunciado; o objetivo é decidir qual delas é verdadeira para MCU.

Passo 2

Primeiro é preciso lembrar e fixar, com calma, o que significa cada palavra do enunciado. “Movimento circular uniforme” quer dizer duas coisas fundamentais:
  • “Circular”: a posição da partícula pode ser representada por \vec{r}(t)=R(\cos\theta(t),\sin\theta(t)), onde R é o raio e \theta(t) é o ângulo polar.
  • “Uniforme”: a rapidez |\vec{v}| é constante; escrevemos essa rapidez como v (constante).
    Vou explicar as variáveis:
  • \vec{r}(t) é o vetor posição a partir do centro da circunferência.
  • R é o raio da circunferência (constante).
  • \theta(t) é o ângulo do raio com um eixo fixo; no MCU \theta(t)=\omega t+\theta_0, com \omega constante.
  • \vec{v}(t) é o vetor velocidade; v=|\vec{v}| é a rapidez (constante).

Passo 3

Agora vamos calcular explicitamente \vec{v} e \vec{a} para ver direção e magnitude. Parto da posição
\vec{r}(t)=R\bigl(\cos\theta(t),\sin\theta(t)\bigr).
Derivando em relação a t obtemos a velocidade
\vec{v}(t)=\dot{\vec{r}}(t)=R\dot\theta(t)\bigl(-\sin\theta(t),\cos\theta(t)\bigr).
Definindo \omega=\dot\theta (velocidade angular constante) e lembrando que v=R\omega, escreve-se
\vec{v}(t)=v\bigl(-\sin\theta(t),\cos\theta(t)\bigr).
Observações importantes desta expressão:
  • O módulo |\vec{v}(t)|=v é constante (uniforme).
  • A direção de \vec{v} é tangente à circunferência e depende de \theta(t), ou seja, muda com o tempo (gira à medida que a partícula se move).

Passo 4

Derivando \vec{v}(t) para obter a aceleração:
\vec{a}(t)=\dot{\vec{v}}(t)=\ddot{\vec{r}}(t)=-R\dot\theta^{2}\bigl(\cos\theta(t),\sin\theta(t)\bigr).
Usando v=R\dot\theta isso fica
\vec{a}(t)=-\frac{v^{2}}{R}\bigl(\cos\theta(t),\sin\theta(t)\bigr)=-\frac{v^{2}}{R}\,\hat{r}(t),
onde \hat{r}(t) é o versor radial (aponta do centro para a partícula). Daí:
  • A aceleração aponta radialmente para o centro (sinal negativo indica direção para o centro); chama-se aceleração centrípeta.
  • O módulo da aceleração é
a=\bigl|\vec{a}(t)\bigr|=\frac{v^{2}}{R},
que é constante (não depende de t).
  • A direção de \vec{a}(t) muda com o tempo porque \hat{r}(t) gira com \theta(t), mas o módulo a é constante.

Passo 5

Agora compare as conclusões com cada alternativa:
  • (a) “a velocidade da partícula muda constantemente de direção” — isto é verdadeiro, pois \vec{v} é tangente e gira com \theta(t). “e sua aceleração tem valor constante e não nulo.” — se entendermos “valor” como o módulo da aceleração, então isso também é verdadeiro: a=v^{2}/R é constante e não nula (se v\neq0 e R finito). Observação: o vetor aceleração não é constante (a sua direção varia), mas o enunciado fala em “valor constante”, que normalmente significa magnitude; com essa leitura (a mais comum) a alternativa (a) é correta.
  • (b) afirma que a aceleração é paralela à velocidade — isso é falso, pois demonstramos que \vec{a} é radial e \vec{v} é tangencial; são perpendiculares.
  • (c) afirma que a aceleração é nula por causa da uniformidade — falso: uniformidade refere-se à rapidez constante, não à aceleração vetorial. A aceleração existe porque a direção da velocidade muda.
  • (d) diz que o vetor velocidade aponta para o centro — falso: a velocidade é tangente; o segundo pedaço “sendo perpendicular ao vetor aceleração” é verdadeiro (velocidade é perpendicular à aceleração), mas a primeira parte é errada, logo a alternativa é falsa.
  • (e) diz que o ângulo entre \vec{v} e \vec{a} varia ao longo da trajetória — falso: o ângulo é sempre 90^\circ (ou \pi/2 rad), pois \vec{v} é tangente e \vec{a} é radial, portanto sempre perpendiculares.

Passo 6

Resumo didático rápido para a prova (fórmula e interpretação que dá resposta):
  • Em MCU: \vec{a}=-\dfrac{v^{2}}{R}\,\hat{r} e a=\dfrac{v^{2}}{R} (módulo constante).
  • A velocidade tem módulo constante e direção variável.
  • A aceleração existe (não nula), tem módulo constante e é sempre dirigida ao centro (direção variável), perpendicular à velocidade.
    Portanto a alternativa que descreve corretamente esses fatos (lendo “valor constante” como módulo constante) é a alternativa (a).

Resposta

(a)

Exercícios relacionados