07 OPF 2010 Riobaldo tem um barco e gostaria de atravessar um rio cujas margens estão separadas por
. O rio tem velocidade de
em relação à margem. Riobaldo quer atravessá-lo percorrendo o menor caminho possível em 40 minutos. Qual a velocidade em relação ao rio que o barco de Riobaldo deve manter?
(a)
.
(b)
.
(c)
.
(d)
.
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (sem resolver ainda).
- Distância entre as margens:
. - Velocidade da correnteza do rio (em relação à margem):
. - Tempo disponível para atravessar:
. - Pedido: determinar a velocidade do barco em relação ao rio que Riobaldo deve manter para atravessar percorrendo o menor caminho possível em
. O enunciado dá quatro alternativas.
Informações úteis que vou usar em seguida:
- Convém trabalhar em unidades compatíveis (metros e segundos).
- O barco tem velocidade em relação à água (valor que queremos) e a água tem velocidade em relação à margem; o movimento observado pela margem é a soma vetorial desses dois.
Passo 2
Converter unidades e definir variáveis.
- Largura do rio:
. - Tempo:
. - Velocidade da correnteza:
. - Velocidade do barco em relação à água (o que queremos):
. - Direção: tomo a direção perpendicular às margens como eixo
(atravessar) e a direção da corrente como eixo (paralela às margens). O barco pode apontar num ângulo em relação à direção .
Explicar decomposição de velocidades (conceito): a velocidade do barco em relação à água se decompõe em duas componentes:
- componente perpendicular:
(responsável por atravessar a largura), - componente paralela (contra/à favor da corrente):
.
A velocidade resultante em relação à margem terá componentes:
- perpendicular:
(a corrente não altera essa componente), - paralela:
(a corrente soma/computa com a componente paralela).
Condição para chegar à outra margem em tempo
: a componente perpendicular deve deslocar exatamente a largura:
Dessa equação segue
Calculemos
:
Logo é obrigatório que
Isto implica imediatamente que
(se
não há como obter componente perpendicular de
).
Passo 3
Expressar o comprimento do trajeto (o que queremos minimizar) em função de
.
- Observação: o comprimento do caminho percorrido em relação à margem é a velocidade resultante em relação à margem multiplicada por
. Assim, para minimizar o caminho em tempo fixo basta minimizar a velocidade resultante em relação à margem.
A magnitude da velocidade resultante é
Pela condição do passo anterior substituímos
. Para
podemos usar
, então
Portanto
Lembre que
. Definindo
e
simplifica a escrita:
Passo 4
Minimizar
. (Aqui uso um passo simples de cálculo; é um mínimo fácil de ver.)
Para simplificar, defina
Então
É mais fácil minimizar
:
Derivando em relação a
:
Igualando a zero para encontrar extremo:
O segundo derivado é
, logo é mínimo. Interpretando fisicamente,
: a componente do barco em direção paralela (para cima do rio) tem módulo igual à velocidade da corrente, o que faz com que a componente paralela resultante seja zero. Ou seja, o barco cancela totalmente a deriva e o movimento resultante relativo à margem fica puramente perpendicular — o trajeto é exatamente a distância mínima entre as margens (reta perpendicular).
Passo 5
Calcular
a partir de
.
Temos
Então
Substituindo
e
:
logo
Comentário final: com
e apontando num ângulo tal que a componente paralela do barco seja
para cima (ou seja,
e
), a componente resultante paralela será zero e o barco fará um trajeto reto perpendicular à margem, percorrendo exatamente
em
. Esse é o menor caminho possível.
Resposta
(c)