07 OPF 2010 Riobaldo tem um barco e gostaria de atravessar um rio cujas margens estão separadas por 9,6 \mathrm{~km}. O rio tem velocidade de 3 \mathrm{~m} / \mathrm{s} em relação à margem. Riobaldo quer atravessá-lo percorrendo o menor caminho possível em 40 minutos. Qual a velocidade em relação ao rio que o barco de Riobaldo deve manter?
(a) 3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
(b) 4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
(c) 5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
(d) 7 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (sem resolver ainda).
  • Distância entre as margens: 9{,}6\\ \text{km}.
  • Velocidade da correnteza do rio (em relação à margem): 3\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
  • Tempo disponível para atravessar: 40\\ \text{min}.
  • Pedido: determinar a velocidade do barco em relação ao rio que Riobaldo deve manter para atravessar percorrendo o menor caminho possível em 40\\ \text{min}. O enunciado dá quatro alternativas.
Informações úteis que vou usar em seguida:
  • Convém trabalhar em unidades compatíveis (metros e segundos).
  • O barco tem velocidade em relação à água (valor que queremos) e a água tem velocidade em relação à margem; o movimento observado pela margem é a soma vetorial desses dois.

Passo 2

Converter unidades e definir variáveis.
  • Largura do rio: w = 9{,}6\\ \text{km} = 9600\\ \mathrm{m}.
  • Tempo: t = 40\\ \text{min} = 40\cdot60 = 2400\\ \mathrm{s}.
  • Velocidade da correnteza: u = 3\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
  • Velocidade do barco em relação à água (o que queremos): v\\ \mathrm{(m/s)}.
  • Direção: tomo a direção perpendicular às margens como eixo y (atravessar) e a direção da corrente como eixo x (paralela às margens). O barco pode apontar num ângulo \theta em relação à direção y.
Explicar decomposição de velocidades (conceito): a velocidade do barco em relação à água se decompõe em duas componentes:
  • componente perpendicular: v_\perp = v\cos\theta (responsável por atravessar a largura),
  • componente paralela (contra/à favor da corrente): v_\parallel = v\sin\theta.
A velocidade resultante em relação à margem terá componentes:
  • perpendicular: v_\perp = v\cos\theta (a corrente não altera essa componente),
  • paralela: v_\parallel - u = v\sin\theta - u (a corrente soma/computa com a componente paralela).
Condição para chegar à outra margem em tempo t: a componente perpendicular deve deslocar exatamente a largura:
v\cos\theta\cdot t = w.
Dessa equação segue
v\cos\theta = \frac{w}{t}.
Calculemos \dfrac{w}{t}:
\frac{w}{t}=\frac{9600}{2400}=4\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
Logo é obrigatório que
v\cos\theta = 4.
Isto implica imediatamente que v\ge 4 (se v<4 não há como obter componente perpendicular de 4\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}).

Passo 3

Expressar o comprimento do trajeto (o que queremos minimizar) em função de v.
  • Observação: o comprimento do caminho percorrido em relação à margem é a velocidade resultante em relação à margem multiplicada por t. Assim, para minimizar o caminho em tempo fixo t basta minimizar a velocidade resultante em relação à margem.
A magnitude da velocidade resultante é
R=\sqrt{(v\cos\theta)^2+(v\sin\theta-u)^2}.
Pela condição do passo anterior substituímos v\cos\theta = 4. Para v\sin\theta podemos usar \sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta}, então
v\sin\theta=\sqrt{v^2-(v\cos\theta)^2}=\sqrt{v^2-4^2}=\sqrt{v^2-16}.
Portanto
R=\sqrt{4^2+\big(\sqrt{v^2-16}-u\big)^2}.
Lembre que u=3. Definindo a=4 e u=3 simplifica a escrita:
R=\sqrt{a^2+\big(\sqrt{v^2-a^2}-u\big)^2},\qquad a=4,\\ u=3.

Passo 4

Minimizar R. (Aqui uso um passo simples de cálculo; é um mínimo fácil de ver.)
Para simplificar, defina
s=\sqrt{v^2-a^2}\quad(\text{então }s\ge 0).ã
Então
R=\sqrt{a^2+(s-u)^2}.
É mais fácil minimizar R^2:
R^2=a^2+(s-u)^2 = a^2 + s^2 -2us + u^2.
Derivando em relação a s:
\frac{d}{ds}(R^2)=2s-2u.
Igualando a zero para encontrar extremo:
2s-2u=0\quad\Rightarrow\quad s=u.
O segundo derivado é 2>0, logo é mínimo. Interpretando fisicamente, s=v\sin\theta = u: a componente do barco em direção paralela (para cima do rio) tem módulo igual à velocidade da corrente, o que faz com que a componente paralela resultante seja zero. Ou seja, o barco cancela totalmente a deriva e o movimento resultante relativo à margem fica puramente perpendicular — o trajeto é exatamente a distância mínima entre as margens (reta perpendicular).

Passo 5

Calcular v a partir de s=u.
Temos
s=\sqrt{v^2-a^2}=u.
Então
v^2=a^2+u^2.
Substituindo a=4 e u=3:
v^2=4^2+3^2=16+9=25,
logo
v=\sqrt{25}=5\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
Comentário final: com v=5\\ \mathrm{m}/\mathrm{s} e apontando num ângulo tal que a componente paralela do barco seja 3\\ \mathrm{m}/\mathrm{s} para cima (ou seja, v\sin\theta=3 e v\cos\theta=4), a componente resultante paralela será zero e o barco fará um trajeto reto perpendicular à margem, percorrendo exatamente 9{,}6\\ \text{km} em 40\\ \text{min}. Esse é o menor caminho possível.

Resposta

(c) 5\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}

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