06 OPF 2011 As duas maiores cidades da Amazônia são Belém e Manaus. Apesar de serem importantes polos turísticos e comerciais, elas não são conectadas por via terrestre. Para percorrermos os 1,6 \cdot 10^{3} \mathrm{~km} que as separam, devemos utilizar a via aérea ou enfrentarmos o Rio Amazonas. Sabendo que um barco faz o percurso Belém-Manaus em 120 horas e o mesmo barco faz o caminho inverso Manaus-Belém em 84 horas, qual a velocidade média da correnteza?
(a) 5,7 \mathrm{~km} / \mathrm{h}
(b) 5,2 \mathrm{~km} / \mathrm{h}
(c) 4,5 \mathrm{~km} / \mathrm{h}
(d) 3,2 \mathrm{~km} / \mathrm{h}
(e) 2,8 \mathrm{~km} / \mathrm{h}

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (vou listar exatamente os dados que temos):
  • A distância entre Belém e Manaus é D = 1{,}6\cdot10^{3}\\ \mathrm{km}.
  • O barco percorre Belém \to Manaus em t_{BM}=120\\ \mathrm{h}.
  • O mesmo barco faz Manaus \to Belém em t_{MB}=84\\ \mathrm{h}.
O que o problema pede:
  • Determinar a velocidade média da correnteza (ou seja, o valor de v_c em \mathrm{km}/\mathrm{h}).
Observação importante sobre os tempos (apenas organizando os dados, sem resolver ainda):
  • Como t_{BM}=120\\ \mathrm{h} é maior que t_{MB}=84\\ \mathrm{h}, o trajeto Belém \to Manaus é mais lento — isso indica que esse sentido é contra a corrente (upstream) e o sentido Manaus \to Belém é a favor da corrente (downstream).

Passo 2

Vamos definir as variáveis e as relações físicas que vamos usar (explicadinho, passo a passo):
  • Seja v_b a velocidade do barco em relação à água (velocidade em água parada), em \mathrm{km}/\mathrm{h}.
  • Seja v_c a velocidade da correnteza do rio (o que queremos achar), em \mathrm{km}/\mathrm{h}.
  • Quando o barco vai a favor da corrente (downstream), a velocidade efetiva em relação ao solo é a soma: v_{\text{down}} = v_b + v_c.Intuição: a água “empurra” o barco, então as velocidades se somam.
  • Quando o barco vai contra a corrente (upstream), a velocidade efetiva é a diferença: v_{\text{up}} = v_b - v_c.Intuição: a corrente “puxa para trás”, diminuindo a velocidade relativa ao solo.

Passo 3

Agora usamos a fórmula básica de movimento uniforme (distância = velocidade × tempo) para cada sentido. Como a distância é a mesma D, temos:
D = v_{\text{down}}\cdot t_{MB} = (v_b + v_c)\,t_{MB},
D = v_{\text{up}}\cdot t_{BM} = (v_b - v_c)\,t_{BM}.
Substituindo os tempos dados (peguei estes valores do enunciado):
D = (v_b + v_c)\cdot 84,
D = (v_b - v_c)\cdot 120.

Passo 4

Queremos eliminar v_b e achar v_c. Subtraindo a segunda equação da primeira (ou seja, primeira menos segunda) para cancelar v_b:
D - D = (v_b + v_c)84 - (v_b - v_c)120.
O lado esquerdo é zero, então:
0 = 84v_b + 84v_c - 120v_b + 120v_c.
Agrupando os termos em v_b e v_c:
0 = v_b(84 - 120) + v_c(84 + 120).
0 = v_b(-36) + v_c(204).
Isolando v_b em termos de v_c não é necessário; uma forma mais direta é subtrair as duas expressões originais em forma de velocidade por tempo dividindo por t. Uma maneira ainda mais simples é reescrever as equações como valores de velocidade e subtrair:
Das equações originais dividindo por t obtemos
v_b + v_c = \frac{D}{84},
v_b - v_c = \frac{D}{120}.
Agora subtraímos a segunda da primeira:
(v_b + v_c) - (v_b - v_c) = \frac{D}{84} - \frac{D}{120}.
O lado esquerdo simplifica para 2v_c, logo
2v_c = D\left(\frac{1}{84} - \frac{1}{120}\right).

Passo 5

Calculemos a diferença de frações com cuidado:
\frac{1}{84} - \frac{1}{120} = \frac{120 - 84}{84\cdot120} = \frac{36}{84\cdot120}.
Agora simplificamos \dfrac{36}{84\cdot120}. Primeiro 84\cdot120=10080. Então
\frac{36}{10080} = \frac{36\div36}{10080\div36} = \frac{1}{280}.
Portanto
2v_c = D\cdot\frac{1}{280} \quad\Rightarrow\quad v_c = \frac{D}{560}.

Passo 6

Substituindo D = 1{,}6\cdot10^{3} = 1600\\ \mathrm{km}:
v_c = \frac{1600}{560}\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}.
Simplificando a fração:
\frac{1600}{560}=\frac{160}{56}=\frac{80}{28}=\frac{40}{14}=\frac{20}{7}.
Logo
v_c=\frac{20}{7}\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}\approx 2{,}857142\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}.
Arredondando com uma casa decimal (como nas alternativas): v_c\approx 2{,}8\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}.

Passo 7

Conferindo com as alternativas dadas, o valor corresponde à alternativa (e).

Resposta

(e) 2,8\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}

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