06 OPF 2011 As duas maiores cidades da Amazônia são Belém e Manaus. Apesar de serem importantes polos turísticos e comerciais, elas não são conectadas por via terrestre. Para percorrermos os
que as separam, devemos utilizar a via aérea ou enfrentarmos o Rio Amazonas. Sabendo que um barco faz o percurso Belém-Manaus em 120 horas e o mesmo barco faz o caminho inverso Manaus-Belém em 84 horas, qual a velocidade média da correnteza?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações (vou listar exatamente os dados que temos):
- A distância entre Belém e Manaus é
. - O barco percorre Belém
Manaus em . - O mesmo barco faz Manaus
Belém em .
O que o problema pede:
- Determinar a velocidade média da correnteza (ou seja, o valor de
em ).
Observação importante sobre os tempos (apenas organizando os dados, sem resolver ainda):
- Como
é maior que , o trajeto Belém Manaus é mais lento — isso indica que esse sentido é contra a corrente (upstream) e o sentido Manaus Belém é a favor da corrente (downstream).
Passo 2
Vamos definir as variáveis e as relações físicas que vamos usar (explicadinho, passo a passo):
- Seja
a velocidade do barco em relação à água (velocidade em água parada), em . - Seja
a velocidade da correnteza do rio (o que queremos achar), em . - Quando o barco vai a favor da corrente (downstream), a velocidade efetiva em relação ao solo é a soma:
Intuição: a água “empurra” o barco, então as velocidades se somam. - Quando o barco vai contra a corrente (upstream), a velocidade efetiva é a diferença:
Intuição: a corrente “puxa para trás”, diminuindo a velocidade relativa ao solo.
Passo 3
Agora usamos a fórmula básica de movimento uniforme (distância = velocidade × tempo) para cada sentido. Como a distância é a mesma
, temos:
Substituindo os tempos dados (peguei estes valores do enunciado):
Passo 4
Queremos eliminar
e achar
. Subtraindo a segunda equação da primeira (ou seja, primeira menos segunda) para cancelar
:
O lado esquerdo é zero, então:
Agrupando os termos em
e
:
Isolando
em termos de
não é necessário; uma forma mais direta é subtrair as duas expressões originais em forma de velocidade por tempo dividindo por
. Uma maneira ainda mais simples é reescrever as equações como valores de velocidade e subtrair:
Das equações originais dividindo por
obtemos
Agora subtraímos a segunda da primeira:
O lado esquerdo simplifica para
, logo
Passo 5
Calculemos a diferença de frações com cuidado:
Agora simplificamos
. Primeiro
. Então
Portanto
Passo 6
Substituindo
:
Simplificando a fração:
Logo
Arredondando com uma casa decimal (como nas alternativas):
.
Passo 7
Conferindo com as alternativas dadas, o valor corresponde à alternativa (e).
Resposta
(e)