O ensaio de tração uniaxial de uma liga de alumínio permitiu obter os seguintes valores de tensão e deformação de engenharia:
\boldsymbol{\sigma} (Mpa) \boldsymbol{\varepsilon} (mm/mm)
298 0,010
348 0,040
Estes valores foram obtidos em regime plástico e a tensão limite de resistência à tração da liga de alumínio é igual a 420 MPa .
a) Determine a equação de Ludwik-Hollomon \sigma_{V}=K \times e_{V} n
b) Calcule o valor da tensão verdadeira correspondente a uma deformação de engenharia de 0,06 .

Passo 1

O enunciado fornece dois pares de valores de tensão de engenharia e deformação de engenharia, obtidos em regime plástico, e diz que a resistência à tração última é 420\\ \text{MPa}. Pede-se:
  1. Determinar a equação de Ludwik–Hollomon \sigma_{V}=K\times e_{V}^{\,n}, ou seja, encontrar K e n.
  2. Calcular a tensão verdadeira correspondente à deformação de engenharia \varepsilon=0,06.
Dados fornecidos (peguei estes valores da tabela do enunciado):
\begin{array}{|c|c|} \hline \boldsymbol{\sigma}\\ (\text{MPa}) & \boldsymbol{\varepsilon}\\ (\text{mm/mm})\\\ \hline 298 & 0,010\\\ \hline 348 & 0,040\\\ \hline \end{array}
Observação: a resistência à tração 420\\ \text{MPa} foi informada, mas não é necessária para ajustar a lei de potência com os dois pontos fornecidos.

Passo 2

Primeiro, precisamos transformar os pares de tensão e deformação de engenharia em tensão verdadeira e deformação verdadeira. Vou explicar as fórmulas e o porquê:
  • Deformação verdadeira \varepsilon_{V}: quando a deformação de engenharia é \varepsilon, a deformação verdadeira uniaxial é a soma infinitesimal das extensões, que resulta na relação
\varepsilon_{V}=\ln(1+\varepsilon).
Aqui \varepsilon é a deformação de engenharia (sem unidade) e \varepsilon_{V} é a deformação verdadeira.
  • Tensão verdadeira \sigma_{V}: assumindo um ensaio de tração onde a área instantânea se reduz conforme a extensão (e conectando tensão verdadeira com força constante medida), a relação entre tensão de engenharia \sigma e tensão verdadeira é
\sigma_{V}=\sigma(1+\varepsilon).
Aqui \sigma é a tensão de engenharia e \sigma_{V} é a tensão verdadeira.
Essas fórmulas são padrão para conversão entre medidas de engenharia e verdadeiras em tração uniaxial.

Passo 3

Calcular \varepsilon_{V} e \sigma_{V} para os dois pontos usando as fórmulas do passo anterior.
Para o primeiro ponto \sigma=298\\ \text{MPa}, \varepsilon=0,010:
\varepsilon_{V1}=\ln(1+0,010)=\ln(1,01)=0,00995033\\ \text{(aprox.)}
\sigma_{V1}=\;298\times(1+0,010)=298\times1,01=300,98\\ \text{MPa}
Para o segundo ponto \sigma=348\\ \text{MPa}, \varepsilon=0,040:
\varepsilon_{V2}=\ln(1+0,040)=\ln(1,04)=0,03922071\\ \text{(aprox.)}
\sigma_{V2}=\;348\times(1+0,040)=348\times1,04=361,92\\ \text{MPa}
Resumo (valores usados para ajuste):
(\varepsilon_{V1},\sigma_{V1})=(0,00995033,\;300,98\\ \text{MPa})
(\varepsilon_{V2},\sigma_{V2})=(0,03922071,\;361,92\\ \text{MPa})

Passo 4

Agora ajustamos a lei de Ludwik–Hollomon no formato
\sigma_{V}=K\,\varepsilon_{V}^{\,n},
onde K e n são constantes a determinar. Para ajustar com dois pontos podemos linearizar tomando logaritmo natural:
\ln(\sigma_{V})=\ln(K)+n\ln(\varepsilon_{V}).
Com dois pontos, resolvemos para n por:
n=\frac{\ln(\sigma_{V2}/\sigma_{V1})}{\ln(\varepsilon_{V2}/\varepsilon_{V1})}.
Expliquei: isso vem de dividir as duas equações \sigma_{V2}/\sigma_{V1}=(\varepsilon_{V2}/\varepsilon_{V1})^{n} e tomar ln.

Passo 5

Calcular n usando os valores numéricos:
\frac{\sigma_{V2}}{\sigma_{V1}}=\frac{361,92}{300,98}\approx1,20247
\frac{\varepsilon_{V2}}{\varepsilon_{V1}}=\frac{0,03922071}{0,00995033}\approx3,9419
n=\frac{\ln(1,20247)}{\ln(3,9419)}\approx\frac{0,18456}{1,37122}\approx0,1347
Arredondando razoavelmente para três algarismos significativos:
n\approx0,135.

Passo 6

Agora encontramos K. Usamos K=\sigma_{V1}/\varepsilon_{V1}^{\,n} (poderíamos usar o ponto 2, dá o mesmo resultado numérico):
Calculemos \varepsilon_{V1}^{\,n}=\exp\big(n\ln(\varepsilon_{V1})\big).
Com n\approx0,1347 e \varepsilon_{V1}=0,00995033,
\varepsilon_{V1}^{\,n}\approx0,5370\\ (\text{aprox.})
K=\frac{\sigma_{V1}}{\varepsilon_{V1}^{\,n}}=\frac{300,98}{0,5370}\approx560,5\\ \text{MPa}.

Passo 7

Portanto a equação de Ludwik–Hollomon ajustada (com os valores arredondados) é
\sigma_{V}=560,5\\ \varepsilon_{V}^{\,0,135}\quad(\text{tensão em MPa},\\ \varepsilon_{V}\\ \text{adimensional}).ã

Passo 8

Parte (b): calcular a tensão verdadeira correspondente à deformação de engenharia \varepsilon=0,06.
Primeiro convertemos para deformação verdadeira:
\varepsilon_{V}=\ln(1+0,06)=\ln(1,06)=0,0582689\\ (\text{aprox.})
Em seguida usamos a lei de potência encontrada:
\sigma_{V}=560,5\times(0,0582689)^{0,135}.
Calculemos (0,0582689)^{0,135}=\exp\big(0,135\ln(0,0582689)\big)\approx0,6818.
Logo
\sigma_{V}\approx560,5\times0,6818\approx382,0\\ \text{MPa}.

Resposta

\sigma_{V}=560,5\\ \varepsilon_{V}^{\,0,135} (tensão em MPa)\n \sigma_{V}\approx382,0\\ \text{MPa}

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