02 (TERMOAÇU) Na tabela abaixo estão indicados os módulos de elasticidade médios de quatro materiais.
Material Módulo de elasticidade (GPa)
Aço estrutural 200
Ferro fundido maleável 170
Ferro fundido cinzento 100
Alumínio trabalhado 70
Uma barra de um determinado material de seção transversal quadrada com lado de 2 mm e comprimento inicial de 3 m deve ser estendida no máximo em 15 mm ao suportar uma carga de 4000 N . Dentre os materiais listados na tabela, aquele(s) que atende(m) este requisito é(são):
(A) aço estrutural.
(B) alumínio trabalhado.
(C) aço estrutural, ferro fundido maleável e ferro fundido cinzento.
(D) aço estrutural e ferro fundido maleável.
(E) alumínio trabalhado e ferro fundido cinzento.

Passo 1

O enunciado pede: entre os materiais da tabela, quais atendem ao requisito de que a barra deve ser estendida no máximo 15\\ \text{mm} ao suportar a carga dada?
Dados fornecidos:
  • Carga: F=4000\\ \text{N}.
  • Seção transversal: quadrada com lado 2\\ \text{mm}.
  • Comprimento inicial: L=3\\ \text{m}.
  • Alongamento máximo permitido: \Delta_{\max}=15\\ \text{mm}.
  • Módulos de elasticidade (pegos da tabela):
    • Aço estrutural: E=200\\ \text{GPa}.
    • Ferro fundido maleável: E=170\\ \text{GPa}.
    • Ferro fundido cinzento: E=100\\ \text{GPa}.
    • Alumínio trabalhado: E=70\\ \text{GPa}.

Passo 2

Fórmula básica para alongamento axial linear (pequenas deformações): a tensão é \sigma=F/A, a deformação é \varepsilon=\Delta/L e a lei de Hooke relaciona \sigma e \varepsilon por \sigma=E\varepsilon. Combinando:
\varepsilon=\frac{\sigma}{E}=\frac{F}{A E}\quad\Rightarrow\quad \Delta = \varepsilon L = \frac{F L}{A E}.
Explicando cada símbolo:
  • F é a força axial (em \text{N}).
  • L é o comprimento inicial da barra (em \text{mm} ou \text{m}).
  • A é a área da seção transversal (em \text{mm}^2 ou \text{m}^2).
  • E é o módulo de elasticidade (em \text{N}/\text{mm}^2 ou \text{Pa}).
  • \Delta é o alongamento (em mesmas unidades que L).
    É crucial usar unidades consistentes ao aplicar \Delta=\dfrac{F L}{A E}.

Passo 3

Calcular área e converter unidades para consistência com E em \text{GPa}:
  • Lado da seção: 2\\ \text{mm} então
A=(2\\ \text{mm})^2=4\\ \text{mm}^2.
  • Comprimento: L=3\\ \text{m}=3000\\ \text{mm}.

Passo 4

Tratar unidades de E. 1\\ \text{GPa}=1000\\ \text{N}/\text{mm}^2 (porque 1\\ \text{GPa}=10^9\\ \text{Pa} e 1\\ \text{N}/\text{mm}^2=10^6\\ \text{Pa}). Substituindo na fórmula com F em \text{N}, L em \text{mm}, A em \text{mm}^2 e E em \text{GPa}:
\Delta=\frac{F L}{A (E_{\text{GPa}}\times 1000)}.
Agora inserir F=4000\\ \text{N}, L=3000\\ \text{mm}, A=4\\ \text{mm}^2:
\Delta=\frac{4000\cdot 3000}{4\cdot(E_{\text{GPa}}\cdot 1000)}.
Simplificando:
\Delta=\frac{4000\cdot 3000}{4000\cdot E_{\text{GPa}}}=\frac{3000}{E_{\text{GPa}}}\\ \text{mm}.
Que linda simplificação: o numerador 4000 cancela com 4\cdot 1000, sobrando \Delta=3000/E_{\text{GPa}} em mm.

Passo 5

Calcular \Delta para cada material usando \Delta=\dfrac{3000}{E_{\text{GPa}}}\\ \text{mm}:
  • Aço estrutural ( E=200\\ \text{GPa}): \Delta=\frac{3000}{200}=15{,}0\\ \text{mm}.
  • Ferro fundido maleável ( E=170\\ \text{GPa}): \Delta=\frac{3000}{170}\approx 17{,}647\\ \text{mm}.
  • Ferro fundido cinzento ( E=100\\ \text{GPa}): \Delta=\frac{3000}{100}=30{,}0\\ \text{mm}.
  • Alumínio trabalhado ( E=70\\ \text{GPa}): \Delta=\frac{3000}{70}\approx 42{,}857\\ \text{mm}.
Comparando com o alongamento máximo permitido \Delta_{\max}=15\\ \text{mm}:
  • Aço estrutural: \Delta=15{,}0\\ \text{mm}\le 15\\ \text{mm} → atende (atinge o limite exato).
  • Todos os outros materiais têm \Delta>15\\ \text{mm} → não atendem.

Passo 6

Conclusão: somente o material com E=200\\ \text{GPa} (aço estrutural) satisfaz o requisito de alongamento máximo de 15\\ \text{mm} sob a carga dada. Força no peito: já dá pra gabaritar essa questão na prova — é só aplicar a fórmula, cuidar das unidades e comparar!

Resposta

(A) aço estrutural.

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