O ensaio de tração uniaxial de uma liga de alumínio permitiu obter os seguintes valores de tensão e deformação de engenharia:
\boldsymbol{\sigma} (Mpa) \boldsymbol{\varepsilon} (mm/mm)
298 0,010
348 0,040
Estes valores foram obtidos em regime plástico e a tensão limite de resistência à tração da liga de alumínio é igual a 420 MPa .
a) Determine a equação de Ludwik-Hollomon \sigma_{V}=K \times e_{V^{n}}
b) Calcule o valor da tensão verdadeira correspondente a uma deformação de engenharia de 0,06.
c) Calcule o valor da tensão de engenharia correspondente a uma deformação de engenharia igual a 0,06 .

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado):
  • Dados (tensão e deformação de engenharia):
    • Ponto 1: \sigma^{eng}_1 = 298\\ \text{MPa}, \varepsilon^{eng}_1 = 0{,}010.
    • Ponto 2: \sigma^{eng}_2 = 348\\ \text{MPa}, \varepsilon^{eng}_2 = 0{,}040.
  • A tensão limite de resistência à tração (valor terminal) é \;420\\ \text{MPa} (informação dada, ficará como referência).
  • O enunciado pede três coisas:
    (a) determinar a equação de Ludwik–Hollomon \sigma_{V}=K\,\varepsilon_{V}^{n} (ou seja, achar K e n);
    (b) calcular a tensão verdadeira correspondente a uma deformação de engenharia \varepsilon^{eng}=0{,}06;
    (c) calcular a tensão de engenharia correspondente a \varepsilon^{eng}=0{,}06.

Passo 2

Como trabalhar: relação entre grandezas de engenharia e verdadeiras e origem da lei usada.
  • Conversões entre engenharia (eng) e verdadeira (V):
    • A deformação verdadeira é \displaystyle \varepsilon_{V}=\ln(1+\varepsilon^{eng}). Aqui \varepsilon^{eng} é a deformação de engenharia (mm/mm) e \varepsilon_{V} é a deformação verdadeira (adimensional).
    • A tensão verdadeira é \displaystyle \sigma_{V}=\sigma^{eng}(1+\varepsilon^{eng}). Aqui \sigma^{eng} está nas mesmas unidades de \sigma_V (MPa).
    • Essas fórmulas supõem deformação homogênea e pequena variação de volume (hipótese habitual antes de estricção localizada).
  • Lei de Ludwik–Hollomon: para regime plástico, muitos metais seguem aproximadamente \sigma_{V}=K\,\varepsilon_{V}^{n},onde:
    • \sigma_{V} é a tensão verdadeira (MPa),
    • \varepsilon_{V} é a deformação verdadeira (adimensional),
    • K é a constante de resistência (mesmas unidades de tensão, aqui MPa),
    • n é o expoente de encruamento (adimensional) — mede o quanto o material se reforça com deformação.
  • Estratégia prática: converter os dois pares (engenharia) para pares verdadeiros, linearizar a lei tomando logaritmo natural, resolver para n e K.

Passo 3

Converter os dois pontos dados para tensões e deformações verdadeiras (faço passo a passo).
  • Ponto 1: \varepsilon_{V1}=\ln(1+0{,}010)=\ln(1{,}01)=0{,}009950330853168082.
\sigma_{V1}=\sigma^{eng}_1(1+\varepsilon^{eng}_1)=298\,(1{,}01)=300{,}0\\ \text{MPa}.
  • Ponto 2: \varepsilon_{V2}=\ln(1+0{,}040)=\ln(1{,}04)=0{,}03922071315328133.
\sigma_{V2}=\sigma^{eng}_2(1+\varepsilon^{eng}_2)=348\,(1{,}04)=361{,}92\\ \text{MPa}.
Agora uso a forma linear em logaritmos. Tomando ln em ambos os lados de \sigma_{V}=K\,\varepsilon_{V}^{n} obtemos
\ln\sigma_{V}=\ln K + n\,\ln\varepsilon_{V}.
Com os dois pontos obtemos um sistema linear para \ln K e n. Subtraindo as equações para os dois pontos:
n=\frac{\ln\sigma_{V2}-\ln\sigma_{V1}}{\ln\varepsilon_{V2}-\ln\varepsilon_{V1}}.
Calculo numérico (mostrando as contas):
  • \ln\sigma_{V1}=\ln(300)=5{,}703782475.
  • \ln\sigma_{V2}=\ln(361{,}92)\approx5{,}891423.
  • \ln\varepsilon_{V1}=\ln(0{,}00995033085)\approx-4{,}61014898.
  • \ln\varepsilon_{V2}=\ln(0{,}03922071315)\approx-3{,}23853343.
Então
n=\frac{5{,}891423-5{,}703782475}{-3{,}23853343-(-4{,}61014898)} =\frac{0{,}187641}{1{,}37161555}\approx0{,}1368.
Agora \ln K a partir de qualquer ponto, por exemplo do ponto 1:
\ln K=\ln\sigma_{V1}-n\,\ln\varepsilon_{V1} =5{,}703782475-0{,}1368259\cdot(-4{,}61014898)\approx6{,}3346155.
Logo
K=\exp(6{,}3346155)\approx563{,}8\\ \text{MPa}.
Conclusão do ajuste (forma final da lei):
\boxed{\sigma_{V}=563{,}8\\ \varepsilon_{V}^{0{,}1368}}
(neste formulário \sigma_V em MPa e \varepsilon_V adimensional).

Passo 4

Calcular a tensão verdadeira correspondente a \varepsilon^{eng}=0{,}06.
  • Primeiro converto para deformação verdadeira: \varepsilon_{V}=\ln(1+0{,}06)=\ln(1{,}06)=0{,}058268908.
  • Uso a lei encontrada: \sigma_{V}=K\,\varepsilon_{V}^{n}=563{,}8\cdot(0{,}058268908)^{0{,}1368259}.Para calcular (0{,}0582689)^{0{,}1368259} posso usar \exp\big(n\ln\varepsilon_{V}\big): \ln\varepsilon_{V}=\ln(0{,}058268908)\approx-2{,}843113,
n\ln\varepsilon_{V}\approx0{,}1368259\cdot(-2{,}843113)\approx-0{,}3889,
(0{,}0582689)^{0{,}1368259}=\exp(-0{,}3889)\approx0{,}6779.
Então
\sigma_{V}\approx563{,}8\cdot0{,}6779\approx382{,}3\\ \text{MPa}.

Passo 5

Calcular a tensão de engenharia correspondente a \varepsilon^{eng}=0{,}06.
  • Relação entre tensões: \sigma^{eng}=\dfrac{\sigma_{V}}{1+\varepsilon^{eng}}.
  • Substituindo: \sigma^{eng}=\frac{382{,}3}{1{,}06}\approx360{,}5\\ \text{MPa}.
Comentário rápido e encorajador: o resultado está coerente (a tensão verdadeira \approx382{,}3\\ \text{MPa} é menor que a resistência última fornecida 420\\ \text{MPa}), e a encruamento do material (expoente n\approx0{,}137) é relativamente baixo — típico de ligas que endurecem pouco nesse intervalo de deformação. Boa! Segue a resposta final caso só queira conferir os números.

Resposta

\sigma_{V}=563{,}8\\ \varepsilon_{V}^{0{,}1368}
\sigma_{V}( \varepsilon^{eng}=0{,}06 ) \approx 382{,}3\\ \text{MPa}
\sigma^{eng}( \varepsilon^{eng}=0{,}06 ) \approx 360{,}5\\ \text{MPa}

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