02- Usando quatro pontos todos distintos, sendo três deles colineares, quantas retas distintas podemos construir?
Passo 1
O enunciado fornece quatro pontos todos distintos, sendo três deles colineares. O que é pedido: determinar quantas retas distintas podem ser construídas a partir desses quatro pontos. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Há exatamente quatro pontos distintos.
- Entre eles, existe um subconjunto de três pontos que são colineares (estão na mesma reta).
- O quarto ponto não está nessa reta (se estivesse, os quatro seriam colineares, mas o enunciado afirma apenas três colineares).
Passo 2
Conceito fundamental que vamos usar (explicado passo a passo): duas retas distintas são determinadas por pares de pontos distintos. Em termos práticos, toda reta é determinada por dois pontos distintos e quaisquer dois pontos distintos definem uma reta. Por isso, um modo natural de contar retas é contar pares de pontos distintos e lembrar que alguns pares podem determinar a mesma reta quando há colinearidade.
Passo 3
Contagem inicial de pares de pontos (contagem sem considerar sobreposição de retas): com quatro pontos, o número de pares distintos de pontos é dado pelo coeficiente binomial
que conta quantas maneiras há de escolher 2 pontos entre 4 sem considerar ordem. Vamos calcular:
Portanto existem
pares de pontos distintos, ou seja, inicialmente parece haver até
“definições de reta” a partir de pares.
Passo 4
Ajuste devido à colinearidade: entre os quatro pontos, três são colineares. Esses três pontos produzem quantos pares entre si? O número de pares formados pelos três pontos colineares é
Esses
pares não geram
retas diferentes; todos eles definem a mesma reta (a reta que contém os três pontos). Logo, desses
pares colineares apenas
conta como reta distinta; os outros
pares são duplicatas (não acrescentam novas retas).
Passo 5
Corrigindo a contagem inicial para remover duplicatas: começamos com
pares, mas os
pares entre os pontos colineares correspondem a apenas
reta, ou seja, há
pares redundantes que devemos descontar. Assim o número de retas distintas é