02- Usando quatro pontos todos distintos, sendo três deles colineares, quantas retas distintas podemos construir?

Passo 1

O enunciado fornece quatro pontos todos distintos, sendo três deles colineares. O que é pedido: determinar quantas retas distintas podem ser construídas a partir desses quatro pontos. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Há exatamente quatro pontos distintos.
  • Entre eles, existe um subconjunto de três pontos que são colineares (estão na mesma reta).
  • O quarto ponto não está nessa reta (se estivesse, os quatro seriam colineares, mas o enunciado afirma apenas três colineares).

Passo 2

Conceito fundamental que vamos usar (explicado passo a passo): duas retas distintas são determinadas por pares de pontos distintos. Em termos práticos, toda reta é determinada por dois pontos distintos e quaisquer dois pontos distintos definem uma reta. Por isso, um modo natural de contar retas é contar pares de pontos distintos e lembrar que alguns pares podem determinar a mesma reta quando há colinearidade.

Passo 3

Contagem inicial de pares de pontos (contagem sem considerar sobreposição de retas): com quatro pontos, o número de pares distintos de pontos é dado pelo coeficiente binomial
\binom{4}{2},
que conta quantas maneiras há de escolher 2 pontos entre 4 sem considerar ordem. Vamos calcular:
\binom{4}{2}=\frac{4\cdot3}{2\cdot1}=6.
Portanto existem 6 pares de pontos distintos, ou seja, inicialmente parece haver até 6 “definições de reta” a partir de pares.

Passo 4

Ajuste devido à colinearidade: entre os quatro pontos, três são colineares. Esses três pontos produzem quantos pares entre si? O número de pares formados pelos três pontos colineares é
\binom{3}{2}=\frac{3\cdot2}{2\cdot1}=3.
Esses 3 pares não geram 3 retas diferentes; todos eles definem a mesma reta (a reta que contém os três pontos). Logo, desses 3 pares colineares apenas 1 conta como reta distinta; os outros 2 pares são duplicatas (não acrescentam novas retas).

Passo 5

Corrigindo a contagem inicial para remover duplicatas: começamos com \binom{4}{2}=6 pares, mas os 3 pares entre os pontos colineares correspondem a apenas 1 reta, ou seja, há 3-1=2 pares redundantes que devemos descontar. Assim o número de retas distintas é
\binom{4}{2} - \bigl(\binom{3}{2}-1\bigr) = 6 - (3-1) = 6 - 2 = 4.

Resposta

4

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