Encontre a solução da equação diferencial dada.
\frac{d y}{d x}=\frac{x-e^{-x}}{y+e^{y}}\

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{d y}{d x}=\frac{x-e^{-x}}{y+e^{y}}
O que é pedido: encontrar a solução geral da equação diferencial (ou seja, a família de curvas que satisfazem essa equação). Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A derivada de y em relação a x está expressa como uma razão onde o numerador é função apenas de x e o denominador é função apenas de y: \dfrac{x-e^{-x}}{y+e^{y}}.
  • Não foi dada condição inicial, então procuraremos a solução geral com constante arbitrária.

Passo 2

Identificação do método (explicação amigável): quando a razão \dfrac{d y}{d x} aparece como uma função que separa em termos de x sozinhos e termos de y sozinhos, a técnica natural é a separação de variáveis. Isso significa reorganizar a equação de modo que todos os fatores envolvendo y fiquem multiplicando dy e todos os fatores envolvendo x fiquem multiplicando dx, para então integrar cada lado. Aqui a separação é possível porque o numerador depende só de x e o denominador só de y.
Observação importante (domínio): ao multiplicar pelos termos que dependem de y devemos cuidar de pontos onde esses termos podem ser zero. O denominador é y+e^{y}. A equação original fica indefinida quando y+e^{y}=0. Esse valor de y existe e é uma constante aproximada y\approx -0{,}56714329 (ela pode ser escrita exatamente como y=-W(1), onde W é a função de Lambert). Portanto, as soluções obtidas por separação valem em intervalos onde y+e^{y}\neq0.

Passo 3

Separe as variáveis: multiplica-se ambos os lados por (y+e^{y})\,dx (válido onde y+e^{y}\neq0) e obtemos
(y+e^{y})\,dy = (x-e^{-x})\,dx.
Agora cada lado tem apenas uma variável (o lado esquerdo só em y, o direito só em x), prontos para integrar.

Passo 4

Integre o lado esquerdo termo a termo. Explico as integrais usadas:
  • A integral de y em relação a y é a regra básica do polinômio: \displaystyle\int y\,dy = \frac{y^{2}}{2}. Aqui a variável de integração é y, então elevamos ao quadrado e dividimos por 2.
  • A integral de e^{y} em relação a y é também direta: \displaystyle\int e^{y}\,dy = e^{y}, porque a derivada de e^{y} é e^{y} novamente.
Portanto
\int (y+e^{y})\,dy = \int y\,dy + \int e^{y}\,dy = \frac{y^{2}}{2} + e^{y}.

Passo 5

Integre o lado direito termo a termo. Explico as integrais:
  • \displaystyle\int x\,dx = \frac{x^{2}}{2}, pela regra do polinômio com variável x.
  • \displaystyle\int e^{-x}\,dx. Para ver isso passo a passo: se u=-x então du=-dx, logo \int e^{-x}\,dx = -\int e^{u}\,du = -e^{u} = -e^{-x}. Assim \displaystyle\int e^{-x}\,dx = -e^{-x}.
Como no lado direito aparece x-e^{-x}, a integral será
\int (x-e^{-x})\,dx = \int x\,dx - \int e^{-x}\,dx = \frac{x^{2}}{2} - \bigl(-e^{-x}\bigr) = \frac{x^{2}}{2} + e^{-x}.

Passo 6

Combine as integrais e acrescente a constante de integração. Igualando o resultado das integrais de ambos os lados, obtemos
\frac{y^{2}}{2} + e^{y} = \frac{x^{2}}{2} + e^{-x} + C,
onde C é uma constante arbitrária (real). Esta é a forma implícita da solução geral.
Se preferir arrumar numa única expressão:
\frac{y^{2}-x^{2}}{2} + e^{y} - e^{-x} = C.

Passo 7

Comentários finais e interpretação prática (sinta-se tranquilo): essa relação implícita define a família de soluções da equação diferencial. Em geral não é possível isolar y como função explícita de x por meios elementares, porque há mistura de termos polinomiais em y e exponenciais e^{y}. Portanto a solução mais útil e comum é a implícita dada acima. Lembrete sobre domínio: as curvas solução só são válidas em intervalos onde y+e^{y}\neq0 (isto é, evitando y=-W(1)\approx -0{,}56714329), pois aí a equação original fica indefinida.

Resposta

\displaystyle \frac{y^{2}}{2}+e^{y}=\frac{x^{2}}{2}+e^{-x}+C

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