Encontre a solução da equação diferencial dada.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
O que é pedido: encontrar a solução geral da equação diferencial (ou seja, a família de curvas que satisfazem essa equação). Informações relevantes que o enunciado fornece:
- A derivada de
em relação a está expressa como uma razão onde o numerador é função apenas de e o denominador é função apenas de : . - Não foi dada condição inicial, então procuraremos a solução geral com constante arbitrária.
Passo 2
Identificação do método (explicação amigável): quando a razão
aparece como uma função que separa em termos de
sozinhos e termos de
sozinhos, a técnica natural é a separação de variáveis. Isso significa reorganizar a equação de modo que todos os fatores envolvendo
fiquem multiplicando
e todos os fatores envolvendo
fiquem multiplicando
, para então integrar cada lado. Aqui a separação é possível porque o numerador depende só de
e o denominador só de
.
Observação importante (domínio): ao multiplicar pelos termos que dependem de
devemos cuidar de pontos onde esses termos podem ser zero. O denominador é
. A equação original fica indefinida quando
. Esse valor de
existe e é uma constante aproximada
(ela pode ser escrita exatamente como
, onde
é a função de Lambert). Portanto, as soluções obtidas por separação valem em intervalos onde
.
Passo 3
Separe as variáveis: multiplica-se ambos os lados por
(válido onde
) e obtemos
Agora cada lado tem apenas uma variável (o lado esquerdo só em
, o direito só em
), prontos para integrar.
Passo 4
Integre o lado esquerdo termo a termo. Explico as integrais usadas:
- A integral de
em relação a é a regra básica do polinômio: . Aqui a variável de integração é , então elevamos ao quadrado e dividimos por . - A integral de
em relação a é também direta: , porque a derivada de é novamente.
Portanto
Passo 5
Integre o lado direito termo a termo. Explico as integrais:
-
, pela regra do polinômio com variável . -
. Para ver isso passo a passo: se então , logo . Assim .
Como no lado direito aparece
, a integral será
Passo 6
Combine as integrais e acrescente a constante de integração. Igualando o resultado das integrais de ambos os lados, obtemos
onde
é uma constante arbitrária (real). Esta é a forma implícita da solução geral.
Se preferir arrumar numa única expressão:
Passo 7
Comentários finais e interpretação prática (sinta-se tranquilo): essa relação implícita define a família de soluções da equação diferencial. Em geral não é possível isolar
como função explícita de
por meios elementares, porque há mistura de termos polinomiais em
e exponenciais
. Portanto a solução mais útil e comum é a implícita dada acima. Lembrete sobre domínio: as curvas solução só são válidas em intervalos onde
(isto é, evitando
), pois aí a equação original fica indefinida.