Resolva as equações diferenciais homogêneas:
\left(x^{2}+3 x y+y^{2}\right) d x=x^{2} d y

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\left(x^{2}+3 x y+y^{2}\right)\,dx = x^{2}\,dy
e pede que se resolva (encontre a solução geral). Informações úteis extraídas do enunciado:
  • A equação envolve termos em x e y e está escrita numa forma que permite dividir por dx para obter \dfrac{dy}{dx}.
  • Deve-se procurar a solução geral implicitamente (ou explicitamente, se possível).
    Observação técnica imediata: é necessário cuidar dos pontos onde divisões por x ou por x+y poderiam não ser válidas (mais adiante vamos comentar isso).

Passo 2

Coloco a equação na forma de derivada ordinária, dividindo ambos os lados por dx e por x^{2} (assumindo provisoriamente x\neq0):
\frac{dy}{dx}=\frac{x^{2}+3xy+y^{2}}{x^{2}}.
Faço a divisão termo a termo:
\frac{dy}{dx}=1+3\frac{y}{x}+\left(\frac{y}{x}\right)^{2}.
Aqui já aparece uma função que depende apenas da razão \dfrac{y}{x}, o que sugere um substituto conveniente (isso será usado no próximo passo).

Passo 3

Faço a substituição típica para equações homogêneas: defino a nova variável
v=\frac{y}{x},
portanto
y=vx.
Essa substituição transforma uma função de y/x em função de v e permite separar as variáveis x e v. Lembre-se também da fórmula de derivada quando y=vx: derivando em relação a x,
\frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}.

Passo 4

Substituo \dfrac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx} na equação obtida no Passo 2, e escrevo o lado direito em termos de v:
v+x\frac{dv}{dx}=1+3v+v^{2}.
Rearranjo os termos para isolar x\frac{dv}{dx}:
x\frac{dv}{dx}=1+3v+v^{2}-v = 1+2v+v^{2}.
Observo que o polinômio do lado direito é um quadrado perfeito:
1+2v+v^{2}=(v+1)^{2}.
Logo
x\frac{dv}{dx}=(v+1)^{2}.

Passo 5

Antes de separar, verifico soluções especiais: se v+1=0 então o lado direito é zero, o que implica x\frac{dv}{dx}=0. Isso permite dv/dx=0 para x\neq0, ou seja, v constante igual a -1. Voltando à variável original, v=-1 corresponde a
y=-x,
que é uma solução particular (singular) da equação original. Devemos registrar essa solução separadamente, porque na separação a seguir vamos dividir por (v+1)^{2} e não podemos dividir por zero.
Agora para as soluções com v\neq-1, separo as variáveis:
\frac{dv}{(v+1)^{2}}=\frac{dx}{x}.

Passo 6

Integro ambos os lados. Para o lado esquerdo uso a primitiva de (v+1)^{-2} e para o lado direito a primitiva de 1/x:
\int \frac{dv}{(v+1)^{2}}=\int \frac{dx}{x}.
A integral do lado esquerdo é
\int (v+1)^{-2}\,dv = -\frac{1}{v+1} + C_1
porque \dfrac{d}{dv}\!\left(-\dfrac{1}{v+1}\right)=(v+1)^{-2}. A integral do lado direito é
\int \frac{dx}{x}=\ln\lvert x\rvert + C_2.
Igualando e juntando as constantes em uma só constante C (por exemplo C=C_2-C_1), obtenho
-\frac{1}{v+1}=\ln\lvert x\rvert + C,
ou, multiplicando por -1,
\frac{1}{v+1}=-\ln\lvert x\rvert + C'.
Aqui C' é uma constante arbitrária (redefinição da constante).

Passo 7

Retorno da substituição v=\dfrac{y}{x}. Substituindo em \dfrac{1}{v+1}:
\frac{1}{\dfrac{y}{x}+1}=\frac{1}{\dfrac{x+y}{x}}=\frac{x}{x+y}.
Portanto a relação integrada fica
\frac{x}{x+y} = -\ln\lvert x\rvert + C'.
Posso rearranjar para uma forma mais limpa comum como solução implícita:
\ln\lvert x\rvert + \frac{x}{x+y} = C,
onde C é constante arbitrária. Essa expressão, junto com a solução particular y=-x encontrada antes, descreve todas as soluções (na região onde x\neq0 e x+y\neq0; a solução y=-x também é válida e corresponde ao caso x+y=0).

Resposta

\displaystyle \ln\lvert x\rvert + \frac{x}{x+y}=C
\displaystyle y=-x

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