Resolva as equações diferenciais homogêneas:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede que se resolva (encontre a solução geral). Informações úteis extraídas do enunciado:
- A equação envolve termos em
e e está escrita numa forma que permite dividir por para obter . - Deve-se procurar a solução geral implicitamente (ou explicitamente, se possível).
Observação técnica imediata: é necessário cuidar dos pontos onde divisões porou por poderiam não ser válidas (mais adiante vamos comentar isso).
Passo 2
Coloco a equação na forma de derivada ordinária, dividindo ambos os lados por
e por
(assumindo provisoriamente
):
Faço a divisão termo a termo:
Aqui já aparece uma função que depende apenas da razão
, o que sugere um substituto conveniente (isso será usado no próximo passo).
Passo 3
Faço a substituição típica para equações homogêneas: defino a nova variável
portanto
Essa substituição transforma uma função de
em função de
e permite separar as variáveis
e
. Lembre-se também da fórmula de derivada quando
: derivando em relação a
,
Passo 4
Substituo
na equação obtida no Passo 2, e escrevo o lado direito em termos de
:
Rearranjo os termos para isolar
:
Observo que o polinômio do lado direito é um quadrado perfeito:
Logo
Passo 5
Antes de separar, verifico soluções especiais: se
então o lado direito é zero, o que implica
. Isso permite
para
, ou seja,
constante igual a
. Voltando à variável original,
corresponde a
que é uma solução particular (singular) da equação original. Devemos registrar essa solução separadamente, porque na separação a seguir vamos dividir por
e não podemos dividir por zero.
Agora para as soluções com
, separo as variáveis:
Passo 6
Integro ambos os lados. Para o lado esquerdo uso a primitiva de
e para o lado direito a primitiva de
:
A integral do lado esquerdo é
porque
. A integral do lado direito é
Igualando e juntando as constantes em uma só constante
(por exemplo
), obtenho
ou, multiplicando por
,
Aqui
é uma constante arbitrária (redefinição da constante).
Passo 7
Retorno da substituição
. Substituindo em
:
Portanto a relação integrada fica
Posso rearranjar para uma forma mais limpa comum como solução implícita:
onde
é constante arbitrária. Essa expressão, junto com a solução particular
encontrada antes, descreve todas as soluções (na região onde
e
; a solução
também é válida e corresponde ao caso
).