03 - Uma aproximação útil para a componente
da velocidade em uma camada-limite laminar e incompressível é uma variação parabólica de
na superfície (
) até a velocidade de corrente livre,
, na borda da camada-limite
. A equação do perfil é
, em que
, sendo
uma constante. Mostre que a expressão mais simples para a componente
da velocidade é
Trace
e
em função de
, e determine o local do máximo valor da razão
. Avalie a razão em que
e
5 mm .
Passo 1
Enunciado e dados importantes (vou listar tudo com calma para a gente não se perder):
- O perfil aproximado da componente
da velocidade é dado por
- A espessura da camada-limite varia com
como
sendo
uma constante.
- Queremos obter a componente
da velocidade (ou seja, ) a partir desse perfil, traçar os perfis e em função de , determinar o local onde é máximo e avaliar o valor máximo quando e .
Observações daqui: as quantidades dadas são suficientes. A resolução vai usar a equação da conservação de massa (continuidade) para um escoamento bidimensional incompressível. Não resolvo nada ainda — só organizei o que foi dado e o que se pede.
Passo 2
Princípio que vamos usar e explicação das variáveis (aula rápida e prática):
- Para um escoamento bidimensional, incompresível e estacionário (ou quase estacionário localmente) a equação da continuidade é
Isto significa que a variação longitudinal do fluxo
é compensada pela variação vertical
— massa conservada.
- Aqui
e . A velocidade de corrente livre é constante. Defino a variável adimensional
Assim
pode ser escrita como
com
Note:
depende de
, então
depende de
e
. Vou usar a regra da cadeia (derivadas) ao calcular
.
Passo 3
Calcular
(passo a passo e explicando a regra da cadeia):
Escrevemos
A derivada de
em relação a
(mantendo
fixo) é, pela regra da cadeia,
Agora calculemos
. Como
e
é tratado como constante na derivação em
,
Sabemos que
. Diferenciando,
porque
. Então
Substituindo em
:
Passo 4
Usar a continuidade para obter
e integrar (explicando cada passo):
A equação de continuidade dá
Queremos
. Integramos com respeito a
a partir de
, usando condição de contorno física
(não-penetração na parede):
Como
, fazemos a mudança de variável
com
. Lembre-se que, para dado
,
é constante na integração em
. Então
e os limites vão de
até
com
. Assim
Passo 5
Calcular explicitamente a integral
usando o
dado:
Temos
. Então
Integramos de
até
:
Portanto
Passo 6
Expressar
em função de
e escrever a forma final (a forma mais simples encontrada):
Substituindo
,
Esta é a expressão simples e direta obtida por continuidade para
a partir do perfil parabólico dado para
. (É uma expressão polinomial em
.)
Passo 7
Traçar qualitativamente
e
em função de
(descrição e alguns pontos numéricos para ajudar a visualizar):
-
Perfil de
: - Em
(parede). - Em
(bordo da camada-limite: alcança ). - É uma parábola que cresce convexa para cima inicialmente e depois fica côncava; tem máximo em
dentro do domínio . Alguns valores: .
- Em
-
Perfil de
: - Em
(parede, sem penetração). - Em
. - Forma: começa em zero, aumenta monotonamente (veremos isso por derivada no próximo passo) e atinge seu máximo no limite
(na borda da camada-limite). Para visualizar numericamente, se for pequeno, será pequeno em todo lugar; a curva é suave e parecida com para pequenos .
- Em
Passo 8
Determinar rigorosamente o local do máximo de
(derivada e análise):
Define-se a função adimensional (sem o fator
):
Derivando em relação a
:
Solução de
dá
e
. No intervalo físico
temos:
-
para , ou seja, cresce estritamente no intervalo interior. - Assim o máximo de
no intervalo fechado ocorre em (extremo da direita).
Portanto o máximo deocorre em
Passo 9
Valor máximo de
e avaliação numérica para
e
:
- Valor máximo (substituindo
):
- Agora substituímos
e :
Arredondando com três casas significativas,