03 - Uma aproximação útil para a componente x da velocidade em uma camada-limite laminar e incompressível é uma variação parabólica de u=0 na superfície ( y=0 ) até a velocidade de corrente livre, U, na borda da camada-limite (y=\delta). A equação do perfil é u / U=2(y / \delta) -(y / \delta) 2, em que \delta=c x^{\frac{1}{2}}, sendo c uma constante. Mostre que a expressão mais simples para a componente y da velocidade é
\begin{gathered} \frac{v}{U}=\frac{1}{\pi} \frac{\delta}{x}\left[\cos \left(\frac{\pi y}{2} \frac{y}{\delta}\right)+\left(\frac{\pi y}{2} \frac{y}{\delta}\right) \operatorname{sen}\left(\frac{\pi y}{2} \frac{y}{\delta}\right)\right. \\\\ -1] \end{gathered}
Trace u / U e v / U em função de y / \delta, e determine o local do máximo valor da razão
v / U. Avalie a razão em que x=0,5 \mathrm{~m} e \delta= 5 mm .

Passo 1

Enunciado e dados importantes (vou listar tudo com calma para a gente não se perder):
  • O perfil aproximado da componente x da velocidade é dado por
\frac{u}{U}=2\left(\frac{y}{\delta}\right)-\left(\frac{y}{\delta}\right)^{2}.
  • A espessura da camada-limite varia com x como
\delta=c\,x^{1/2},
sendo c uma constante.
  • Queremos obter a componente y da velocidade v (ou seja, \dfrac{v}{U}) a partir desse perfil, traçar os perfis u/U e v/U em função de y/\delta, determinar o local onde v/U é máximo e avaliar o valor máximo quando x=0{,}5\\ \mathrm{m} e \delta=5\\ \mathrm{mm}.
Observações daqui: as quantidades dadas são suficientes. A resolução vai usar a equação da conservação de massa (continuidade) para um escoamento bidimensional incompressível. Não resolvo nada ainda — só organizei o que foi dado e o que se pede.

Passo 2

Princípio que vamos usar e explicação das variáveis (aula rápida e prática):
  • Para um escoamento bidimensional, incompresível e estacionário (ou quase estacionário localmente) a equação da continuidade é
\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0.
Isto significa que a variação longitudinal do fluxo u é compensada pela variação vertical v — massa conservada.
  • Aqui u=u(x,y) e v=v(x,y). A velocidade de corrente livre U é constante. Defino a variável adimensional
\eta=\frac{y}{\delta(x)}.
Assim u pode ser escrita como u(x,y)=U\,f(\eta) com
f(\eta)=2\eta-\eta^{2}.
Note: \delta depende de x, então \eta depende de x e y. Vou usar a regra da cadeia (derivadas) ao calcular \partial u/\partial x.

Passo 3

Calcular \partial u/\partial x (passo a passo e explicando a regra da cadeia):
Escrevemos
u(x,y)=U\,f(\eta),\qquad \eta=\frac{y}{\delta(x)}.
A derivada de u em relação a x (mantendo y fixo) é, pela regra da cadeia,
\frac{\partial u}{\partial x}=U\,f'(\eta)\,\frac{\partial \eta}{\partial x}.
Agora calculemos \partial\eta/\partial x. Como \eta=y/\delta e y é tratado como constante na derivação em x,
\frac{\partial\eta}{\partial x}=-\frac{y}{\delta^{2}}\frac{d\delta}{dx}.
Sabemos que \delta=c\,x^{1/2}. Diferenciando,
\frac{d\delta}{dx}=\frac{c}{2}x^{-1/2}=\frac{\delta}{2x},
porque \delta=c x^{1/2}\Rightarrow \delta/(2x)=c/(2)x^{-1/2}. Então
\frac{\partial\eta}{\partial x}=-\frac{y}{\delta^{2}}\cdot\frac{\delta}{2x}=-\frac{y}{2x\delta}=-\frac{\eta}{2x}.
Substituindo em \partial u/\partial x:
\frac{\partial u}{\partial x}=U\,f'(\eta)\left(-\frac{\eta}{2x}\right)=-\frac{U}{2x}\,\eta\,f'(\eta).

Passo 4

Usar a continuidade para obter \partial v/\partial y e integrar (explicando cada passo):
A equação de continuidade dá
\frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{U}{2x}\,\eta\,f'(\eta).
Queremos v(x,y). Integramos com respeito a y a partir de y=0, usando condição de contorno física v(x,0)=0 (não-penetração na parede):
v(x,y)=\int_{0}^{y}\frac{\partial v}{\partial y'}\,dy'=\int_{0}^{y}\frac{U}{2x}\,\eta(y')\,f'(\eta(y'))\,dy'.
Como \eta=y'/\delta, fazemos a mudança de variável y'=\delta s com s=\eta. Lembre-se que, para dado x, \delta é constante na integração em y'. Então dy'=\delta\,ds e os limites vão de s=0 até s=\eta com \eta=y/\delta. Assim
v(x,y)=\frac{U}{2x}\,\delta\int_{0}^{\eta} s\,f'(s)\,ds.

Passo 5

Calcular explicitamente a integral \int_{0}^{\eta} s f'(s)\,ds usando o f(\eta) dado:
Temos f(s)=2s-s^{2}\Rightarrow f'(s)=2-2s. Então
s\,f'(s)=s(2-2s)=2s-2s^{2}.
Integramos de 0 até \eta:
\int_{0}^{\eta}(2s-2s^{2})\,ds=\left[s^{2}-\frac{2}{3}s^{3}\right]_{0}^{\eta}=\eta^{2}-\frac{2}{3}\eta^{3}.
Portanto
v(x,y)=\frac{U\,\delta}{2x}\left(\eta^{2}-\frac{2}{3}\eta^{3}\right).

Passo 6

Expressar v/U em função de \eta=y/\delta e escrever a forma final (a forma mais simples encontrada):
Substituindo \eta=y/\delta,
\boxed{\displaystyle \frac{v}{U}=\frac{\delta}{2x}\left[\left(\frac{y}{\delta}\right)^{2}-\frac{2}{3}\left(\frac{y}{\delta}\right)^{3}\right].}
Esta é a expressão simples e direta obtida por continuidade para v a partir do perfil parabólico dado para u. (É uma expressão polinomial em \eta.)

Passo 7

Traçar qualitativamente u/U e v/U em função de \eta=y/\delta (descrição e alguns pontos numéricos para ajudar a visualizar):
  • Perfil de u/U=f(\eta)=2\eta-\eta^{2}:
    • Em \eta=0\Rightarrow u/U=0 (parede).
    • Em \eta=1\Rightarrow u/U=2-1=1 (bordo da camada-limite: alcança U).
    • É uma parábola que cresce convexa para cima inicialmente e depois fica côncava; tem máximo em \eta=1 dentro do domínio 0\le\eta\le1. Alguns valores: \eta=0{,}5\Rightarrow u/U=2(0{,}5)-(0{,}5)^{2}=1-0{,}25=0{,}75.
  • Perfil de v/U=\dfrac{\delta}{2x}\big(\eta^{2}-\dfrac{2}{3}\eta^{3}\big):
    • Em \eta=0\Rightarrow v/U=0 (parede, sem penetração).
    • Em \eta=1\Rightarrow v/U=\dfrac{\delta}{2x}\left(1-\dfrac{2}{3}\right)=\dfrac{\delta}{2x}\cdot\frac{1}{3}=\dfrac{\delta}{6x}.
    • Forma: começa em zero, aumenta monotonamente (veremos isso por derivada no próximo passo) e atinge seu máximo no limite \eta=1 (na borda da camada-limite). Para visualizar numericamente, se \delta/(2x) for pequeno, v/U será pequeno em todo lugar; a curva é suave e parecida com \propto \eta^{2} para pequenos \eta.

Passo 8

Determinar rigorosamente o local do máximo de v/U (derivada e análise):
Define-se a função adimensional (sem o fator \delta/(2x)):
g(\eta)=\eta^{2}-\frac{2}{3}\eta^{3}.
Derivando em relação a \eta:
g'(\eta)=2\eta-2\eta^{2}=2\eta(1-\eta).
Solução de g'(\eta)=0 \eta=0 e \eta=1. No intervalo físico 0\le\eta\le1 temos:
  • g'(\eta)>0 para 0<\eta<1, ou seja, g cresce estritamente no intervalo interior.
  • Assim o máximo de g no intervalo fechado ocorre em \eta=1 (extremo da direita).
    Portanto o máximo de v/U ocorre em
\boxed{\displaystyle \frac{y}{\delta}=1\quad\text{(isto é, }y=\delta\text{).}}é

Passo 9

Valor máximo de v/U e avaliação numérica para x=0{,}5\\ \mathrm{m} e \delta=5\\ \mathrm{mm}:
  • Valor máximo (substituindo \eta=1):
\left(\frac{v}{U}\right)_{\max}=\frac{\delta}{2x}\left(1-\frac{2}{3}\right)=\frac{\delta}{6x}.
  • Agora substituímos x=0{,}5\\ \mathrm{m} e \delta=5\\ \mathrm{mm}=0{,}005\\ \mathrm{m}:
\left(\frac{v}{U}\right)_{\max}=\frac{0{,}005}{6\cdot 0{,}5}=\frac{0{,}005}{3}=0{,}001666\ldots
Arredondando com três casas significativas,
\left(\frac{v}{U}\right)_{\max}\approx 0{,}00167.

Resposta

\displaystyle \frac{y}{\delta}=1 (ou seja, o máximo de v/U ocorre em y=\delta).
\displaystyle \left(\frac{v}{U}\right)_{\max}=\frac{\delta}{6x}\approx 0{,}00167 para x=0{,}5\\ \mathrm{m} e \delta=5\\ \mathrm{mm}.

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