Exerc. 3) Um dado rotor de bomba centrífuga opera à rotação de 1450[\mathrm{rpm}]. Os rendimentos hidráulico, volumétrico e mecânico são de \eta_{h}=0,8, \eta_{v}=0,91 e \eta_{m}=0,98, respectivamente. Além disso, o mesmo possui as seguintes características:
na entrada do rotor:
  • Entrada completamente axial antes do rotor;
  • Diâmetro do rotor: 150[\mathrm{~mm}];
  • Altura das pás: 75[\mathrm{~mm}];
  • Ângulo construtivo: 20^{\circ}.
  • Espessura das pás: 5[\mathrm{~mm}] :
    na saída do rotor:
  • Diâmetro do rotor: 300[\mathrm{~mm}];
  • Altura das pás: 50[\mathrm{~mm}];
  • Ângulo construtivo: 25^{\circ}.
  • Espessura das pás: afiladas;
Dado que o rotor possui Z=6 pás, determine:
  1. A altura e a potência teóricas e corrigidas;
  2. A altura ideal e sua respectiva potêneia, considerando que a bomba trabalha com água;

Passo 1

O enunciado dá um rotor (impelidor) de bomba centrífuga que gira a 1450[\mathrm{rpm}]. As eficiências são \eta_{h}=0,8 (hidráulica), \eta_{v}=0,91 (volumétrica) e \eta_{m}=0,98 (mecânica). Dados geométricos na entrada do rotor:
\begin{aligned} &D_{1}=150\\ \mathrm{mm},\quad b_{1}=75\\ \mathrm{mm},\quad \beta_{1}=20^\circ,\quad t_{1}=5\\ \mathrm{mm}; \end{aligned}
na saída do rotor:
\begin{aligned} &D_{2}=300\\ \mathrm{mm},\quad b_{2}=50\\ \mathrm{mm},\quad \beta_{2}=25^\circ,\quad t_{2}\approx0\\ (\text{afiladas}). \end{aligned}
O rotor tem Z=6 pás. Pede-se:
  1. A altura (head) e a potência teóricas e corrigidas.
  2. A altura ideal e sua respectiva potência, considerando que a bomba trabalha com água.
Observações importantes (decisões de método que adoto, pois o enunciado não explicita alguns termos):
  • Vou usar a formula de Euler para turbomáquinas para calcular a altura teórica:
H_{\text{th}}=\frac{U_{2}V_{u2}-U_{1}V_{u1}}{g}.
Como a entrada é completamente axial antes do rotor, tomo V_{u1}=0. Assim H_{\text{th}}=\dfrac{U_{2}V_{u2}}{g}.
  • Vou determinar a vazão geométrica Q impondo ausência de incidência na entrada (condição usual de projeto): o ângulo relativo de entrada \beta_{1} se satisfaz com \tan\beta_{1}=V_{r1}/U_{1}. Com isso obtenho V_{r1} e Q=V_{r1}A_{1}.
  • Para a área de passagem na seção radi-al (aproximação usual), uso a área anul ar efetiva subtraindo a área ocupada pelas lâminas na entrada: A_{1}=b_{1}\big(2\pi r_{1}-Z t_{1}\big). Na saída as lâminas são afiladas, tomo A_{2}=b_{2}\,2\pi r_{2}.
  • No triângulo de velocidades na saída uso a relação geométrica da lâmina:
\tan\beta_{2}=\frac{V_{r2}}{U_{2}-V_{u2}}
e solução para V_{u2}=U_{2}-\dfrac{V_{r2}}{\tan\beta_{2}}.
  • A cabeça corrigida (valor entregue ao fluido depois das perdas hidráulicas) tomo como H_{\text{corr}}=\eta_{h}H_{\text{th}}. A vazão real Q_{\text{real}}=\eta_{v}Q. A potência hidráulica real P_{\text{hid}}=\rho g Q_{\text{real}} H_{\text{corr}}. A potência de eixo (ou requerida do motor) P_{\text{eixo}=P_{\text{hid}}/\eta_{m}}.
  • Para a “altura ideal” (interpretação que escolhi: altura máxima que se poderia obter se o fluido saísse tangencialmente com velocidade igual à velocidade periférica do rotor, ou seja V_{u2}=U_{2}) uso
H_{\text{ideal}}=\frac{U_{2}^{2}}{g},
mantendo a mesma vazão geométrica Q obtida no projeto (procedimento de comparação comum em provas). Se o enunciado quisesse outra definição de “ideal”, eu o explicitaria; aqui esta é a interpretação física mais direta (máxima transformação de energia cinética periférica em cabeça).
Dados físicos a usar: densidade da água \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}} e g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 2

Calcular velocidade periférica nas seções 1 e 2 ( U_{1},U_{2}). Lembro que U=\omega r e que isso simplifica para U=\dfrac{\pi n D}{60} quando trabalhamos em n em rpm e D em metros. Primeiro converto diâmetros e alturas para metros:
\begin{aligned} &D_{1}=0{,}150\\ \mathrm{m},\quad r_{1}=0{,}075\\ \mathrm{m},\\\ &D_{2}=0{,}300\\ \mathrm{m},\quad r_{2}=0{,}150\\ \mathrm{m},\\\ &b_{1}=0{,}075\\ \mathrm{m},\quad b_{2}=0{,}050\\ \mathrm{m},\quad t_{1}=0{,}005\\ \mathrm{m}. \end{aligned}
A rotação é n=1450\\ \mathrm{rpm}. Então
\begin{aligned} U_{1}&=\frac{\pi n D_{1}}{60}=\frac{\pi\cdot1450\cdot0{,}150}{60}=11{,}3883\\ \mathrm{m/s},\\[4pt] U_{2}&=\frac{\pi n D_{2}}{60}=\frac{\pi\cdot1450\cdot0{,}300}{60}=22{,}7766\\ \mathrm{m/s}. \end{aligned}]

Passo 3

Determinar a velocidade radial de entrada V_{r1} impondo que o fluido entre sem incidência (ângulo relativo igual ao ângulo construtivo \beta_{1}):
\tan\beta_{1}=\frac{V_{r1}}{U_{1}}\quad\Longrightarrow\quad V_{r1}=U_{1}\tan\beta_{1}.
Com \beta_{1}=20^\circ e U_{1}=11{,}3883\\ \mathrm{m/s}:
V_{r1}=11{,}3883\cdot\tan 20^\circ=11{,}3883\cdot0{,}363970\approx4{,}1445\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Determinar a área efetiva de entrada A_{1} e a vazão Q. A área anul ar nominal é 2\pi r_{1}b_{1}, e subtraio a área ocupada pelas lâminas na seção (aproximação padrão): Z t_{1} b_{1}. Assim
A_{1}=b_{1}\big(2\pi r_{1}-Z t_{1}\big).
Calculando numericamente:
2\pi r_{1}=\pi D_{1}=\pi\cdot0{,}150=0{,}4712389\\ \mathrm{m},
2\pi r_{1}-Z t_{1}=0{,}4712389-6\cdot0{,}005=0{,}4412389\\ \mathrm{m},
A_{1}=0{,}075\cdot0{,}4412389=0{,}0330929\\ \mathrm{m^{2}}.
A vazão geométrica é
Q=V_{r1}A_{1}=4{,}1445\cdot0{,}0330929\approx0{,}137171\\ \mathrm{m^{3}/s}.

Passo 5

Calcular V_{r2} na saída usando continuidade (assumo lâminas afiladas, sem bloqueio):
A_{2}=2\pi r_{2}b_{2}=\pi D_{2} b_{2}=\pi\cdot0{,}300\cdot0{,}050=0{,}0471239\\ \mathrm{m^{2}},
V_{r2}=\frac{Q}{A_{2}}=\frac{0{,}137171}{0{,}0471239}\approx2{,}9129\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Determinar o componente tangencial da velocidade absoluta na saída V_{u2} a partir do triângulo de velocidades e do ângulo construtivo de saída \beta_{2}. A relação é
\tan\beta_{2}=\frac{V_{r2}}{U_{2}-V_{u2}}
que isolada dá
V_{u2}=U_{2}-\frac{V_{r2}}{\tan\beta_{2}}.
Com \beta_{2}=25^\circ (portanto \tan25^\circ\approx0{,}466308), U_{2}=22{,}7766\\ \mathrm{m/s} e V_{r2}=2{,}9129\\ \mathrm{m/s}:
\frac{V_{r2}}{\tan\beta_{2}}=\frac{2{,}9129}{0{,}466308}\approx6{,}2441\\ \mathrm{m/s},
V_{u2}=22{,}7766-6{,}2441\approx16{,}5325\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Calcular a altura (head) teórica pela equação de Euler (entrada sem componente tangencial):
H_{\text{th}}=\frac{U_{2}V_{u2}}{g}=\frac{22{,}7766\cdot16{,}5325}{9{,}81}\approx38{,}387\\ \mathrm{m}.

Passo 8

Calcular potência teórica (potência hidráulica teórica entregue ao fluido, sem perdas) usando \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}:
P_{\text{th}}=\rho g Q H_{\text{th}}=1000\cdot9{,}81\cdot0{,}137171\cdot38{,}387\approx51{,}67\\ \mathrm{kW}.
(ou P_{\text{th}}\approx51{,}7\\ \mathrm{kW}).

Passo 9

Calcular a altura corrigida e vazão real usando as eficiências hidráulica e volumétrica:
H_{\text{corr}}=\eta_{h}H_{\text{th}}=0{,}8\cdot38{,}387\approx30{,}710\\ \mathrm{m},
Q_{\text{real}}=\eta_{v}Q=0{,}91\cdot0{,}137171\approx0{,}124785\\ \mathrm{m^{3}/s}.

Passo 10

Calcular a potência hidráulica real entregue à água e a potência no eixo (considerando eficiência mecânica):
P_{\text{hid}}=\rho g Q_{\text{real}} H_{\text{corr}}=1000\cdot9{,}81\cdot0{,}124785\cdot30{,}710\approx37{,}60\\ \mathrm{kW},
P_{\text{eixo}}=\frac{P_{\text{hid}}}{\eta_{m}}=\frac{37{,}60\\ \mathrm{kW}}{0{,}98}\approx38{,}34\\ \mathrm{kW}.
Explicação breve sobre sentidos físicos: P_{\text{th}} é a potência que idealmente seria convertida para o fluido se não houvesse perdas; P_{\text{hid}} já considera perdas hidráulicas ( \eta_{h}) e vazão reduzida por vazamentos ou refluxos ( \eta_{v}). A potência no eixo maior que P_{\text{hid}} porque há perdas mecânicas ( \eta_{m}<1).

Passo 11

Agora a “altura ideal” segundo a interpretação adotada: supondo que todo o movimento periférico pudesse ser convertido em velocidade tangencial do fluido de saída (isto é, V_{u2}=U_{2}, ausência de escorregamento), a altura ideal máxima possível é
H_{\text{ideal}}=\frac{U_{2}^{2}}{g}=\frac{(22{,}7766)^{2}}{9{,}81}\approx52{,}86\\ \mathrm{m}.
A potência hidráulica ideal correspondente (mantendo a mesma vazão geométrica Q obtida no projeto) é
P_{\text{ideal}}=\rho g Q H_{\text{ideal}}=1000\cdot9{,}81\cdot0{,}137171\cdot52{,}86\approx71{,}13\\ \mathrm{kW}.
Se quisermos a potência no eixo para essa situação ideal, considerando perdas mecânicas:
P_{\text{eixo, ideal}}=\frac{P_{\text{ideal}}}{\eta_{m}}\approx\frac{71{,}13}{0{,}98}\approx72{,}59\\ \mathrm{kW}.

Resposta

Teórica: H_{\text{th}}=38{,}39\\ \mathrm{m}, P_{\text{th}}=51{,}67\\ \mathrm{kW}.
Corrigida (real): H_{\text{corr}}=30{,}71\\ \mathrm{m}, P_{\text{hid}}=37{,}60\\ \mathrm{kW}, P_{\text{eixo}}=38{,}34\\ \mathrm{kW}.
Ideal (máxima, V_{u2}=U_{2}, água): H_{\text{ideal}}=52{,}86\\ \mathrm{m}, P_{\text{ideal}}=71{,}13\\ \mathrm{kW}, P_{\text{eixo, ideal}}=72{,}59\\ \mathrm{kW}.

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