Exerc. 4) Um rotor de bomba centrífuga, com rotor de 200[\mathrm{~mm}] de diâmetro, gira a 3500[\mathrm{rpm}]. O ângulo das pás na saída é de 22^{\circ} e a componente meridiana da velocidade absoluta é igual a 3,6\left[\frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}}\right]. Determine a altura teórica. Considere escoamento completamente axial (entrada radial) à entrada e que d_{5} / d_{4}=2. Se o diâmetro do rotor for diminuído para 180[\mathrm{~mm}], qual o novo valor da carga ideal? Considere Q=0.013\left[\mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}\right].

Passo 1

O enunciado pede a “altura teórica” (carga ideal) fornecida pelo rotor da bomba e, depois, o novo valor dessa carga quando o diâmetro do rotor é reduzido. Informações importantes dadas no enunciado que vou usar (tudo extraído do enunciado):
  • diâmetro do rotor inicial: d_{5}=200\,[\mathrm{mm}],
  • rotação: n=3500\,[\mathrm{rpm}],
  • ângulo das pás na saída: \beta_{5}=22^{\circ} (ângulo da pá relativo à tangente, usado no triângulo de velocidades),
  • componente meridiana (axial) da velocidade absoluta na saída: V_{m5}=3{,}6\left[\mathrm{m/s}\right],
  • razão de diâmetros: d_{5}/d_{4}=2 (logo d_{4}=d_{5}/2),
  • para o caso de redução do diâmetro, novo diâmetro: d_{5}=180\,[\mathrm{mm}] e vazão a considerar: Q=0{,}013\left[\mathrm{m^{3}/s}\right].
O que a questão efetivamente pergunta:
  1. Calcular a altura (carga) teórica do rotor quando d_{5}=200\,[\mathrm{mm}], usando V_{m5}=3{,}6\,[\mathrm{m/s}].
  2. Se o diâmetro do rotor for reduzido para d_{5}=180\,[\mathrm{mm}], calcular a nova carga ideal considerando Q=0{,}013\,[\mathrm{m^{3}/s}].
Observações que vou usar (extraídas/assumidas do enunciado):
  • “Considere escoamento completamente axial à entrada” implica velocidade absoluta tangencial na entrada nula: V_{u4}=0.
  • Numeração: subíndice 4 = estação de entrada, subíndice 5 = estação de saída (borda do rotor).
  • Não há figura adicional; todos os dados necessários estão no enunciado.

Passo 2

Qual teoria vamos usar (aula rápida e sem pular etapas): o teorema de Euler para turbomáquinas fornece a energia específica (carga ideal) adicionada ao fluido pela roda em função das velocidades tangenciais e das componentes tangenciais das velocidades absolutas nas seções de entrada e saída. A fórmula é
gH_\text{teórica}=U_{5}V_{u5}-U_{4}V_{u4},ó
onde:
  • g é a aceleração da gravidade \left(g=9{,}81\,[\mathrm{m/s^{2}}]\right),
  • H_\text{teórica}ó é a altura (m),
  • U=\omega r é a velocidade periférica (tangencial) do rotor numa dada seção (m/s), com \omega em rad/s e r o raio (m),
  • V_{u} é a componente tangencial da velocidade absoluta do fluido (m/s) na respectiva seção.
Explicando variáveis e sinais: U e V_{u} são grandezas com sinal de acordo com a direção; aqui tomamos orientação positiva no sentido da rotação e usaremos as magnitudes com a convenção usual do teorema de Euler. Como a entrada é axial, V_{u4}=0. Assim a fórmula simplifica para
gH_\text{teórica}=U_{5}V_{u5}.ó

Passo 3

Como calcular V_{u5} a partir do ângulo das pás e da velocidade meridiana?
Precisamos ligar o ângulo da pá \beta_{5} com as componentes do triângulo de velocidades. A velocidade relativa na saída é
\mathbf{W}_{5}=\mathbf{V}_{5}-\mathbf{U}_{5}.
Em componentes tangencial e meridiana (axial):
W_{u5}=V_{u5}-U_{5},\qquad W_{m5}=V_{m5}.
O ângulo da pá \beta_{5} é o ângulo entre a direção tangencial e a velocidade relativa \mathbf{W}_{5}. Pela definição do ângulo:
\tan\beta_{5}=\frac{W_{m5}}{W_{u5}}=\frac{V_{m5}}{V_{u5}-U_{5}}.
Isolando V_{u5} obtemos (atenção ao sinal):
V_{u5}-U_{5}=\frac{V_{m5}}{\tan\beta_{5}}
logo
\boxed{V_{u5}=U_{5}+\frac{V_{m5}}{\tan\beta_{5}}.}
Mas atenção: a convenção de sinais depende da definição do \beta. Para a maioria dos problemas de bomba com \beta_{5} medido do sentido tangencial para a direção meridiana (como aqui), a componente tangencial da velocidade absoluta é
\boxed{V_{u5}=U_{5}-\frac{V_{m5}}{\tan\beta_{5}}.}
(é a fórmula usada quando a velocidade relativa forma ângulo positivo em relação à tangente no sentido oposto ao da rotação). Vou usar esta última forma porque é a que conduz à configuração física típica de pás retrógradas/curvadas e fornece resultados coerentes com sinais em bombas (você verá que a subtração reduz a componente tangencial absoluta).
Resumo prático que usarei a seguir:
V_{u5}=U_{5}-\frac{V_{m5}}{\tan\beta_{5}}.

Passo 4

Calcular a rotação angular \omega e as velocidades periféricas para o caso inicial d_{5}=200\,[\mathrm{mm}].
Converter:
n=3500\,[\mathrm{rpm}]\Rightarrow \omega=2\pi\frac{n}{60}=2\pi\frac{3500}{60}.
Calculemos numericamente:
\omega=2\pi\cdot58{,}333\ldots=366{,}5191429\\ \left[\mathrm{rad/s}\right].
Raio de saída e de entrada (pela razão d_{5}/d_{4}=2):
r_{5}=\frac{d_{5}}{2}=\frac{0{,}200}{2}=0{,}100\\ \mathrm{m},
r_{4}=\frac{d_{4}}{2}=\frac{d_{5}/2}{2}=\frac{0{,}200/2}{2}=0{,}050\\ \mathrm{m}.
Velocidades periféricas:
U_{5}=\omega r_{5}=366{,}5191429\cdot0{,}100=36{,}65191429\\ \left[\mathrm{m/s}\right],
U_{4}=\omega r_{4}=366{,}5191429\cdot0{,}050=18{,}32595714\\ \left[\mathrm{m/s}\right].

Passo 5

Calcular V_{u5} para o caso inicial usando \beta_{5}=22^{\circ} e V_{m5}=3{,}6\,[\mathrm{m/s}].
Primeiro calcule \tan\beta_{5}:
\tan(22^{\circ})=0{,}4040262258.
Agora:
\frac{V_{m5}}{\tan\beta_{5}}=\frac{3{,}6}{0{,}4040262258}=8{,}909702\\ \left[\mathrm{m/s}\right].
Aplicando a fórmula escolhida:
V_{u5}=U_{5}-\frac{V_{m5}}{\tan\beta_{5}}=36{,}65191429-8{,}909702=27{,}74221229\\ \left[\mathrm{m/s}\right].

Passo 6

Calcular a altura teórica H_\text{teórica}ó para o caso inicial com a fórmula de Euler simplificada (entrada axial V_{u4}=0):
gH_\text{teórica}=U_{5}V_{u5}\quad\Rightarrow\quad H_\text{teórica}=\frac{U_{5}V_{u5}}{g}.óó
Substituindo números:
U_{5}V_{u5}=36{,}65191429\cdot27{,}74221229=1016{,}210140\\ \left[\mathrm{m^{2}/s^{2}}\right].
H_\text{teórica}=\frac{1016{,}210140}{9{,}81}=103{,}613\\ \mathrm{m}.ó
Arredondando razoavelmente, obtenho:
H_\text{teórica}\approx103{,}61\\ \mathrm{m}\quad\text{(para \(d_{5}=200\,[\mathrm{mm}]\) e \(V_{m5}=3{,}6\,[\mathrm{m/s}]\)).}ó

Passo 7

Agora tratamos o caso com d_{5}=180\,[\mathrm{mm}]. Primeiro calculamos, a partir de Q=0{,}013\,[\mathrm{m^{3}/s}], a componente meridiana de velocidade na saída V_{m5} (agora não é dada; sai de Q e da geometria).
Raio e geometria (mantendo d_{5}/d_{4}=2):
r_{5}=\frac{0{,}180}{2}=0{,}090\\ \mathrm{m},\qquad r_{4}=\frac{0{,}090}{2}=0{,}045\\ \mathrm{m}.
Área do anel por onde passa o fluido na saída:
A=\pi\left(r_{5}^{2}-r_{4}^{2}\right)=\pi\left(0{,}090^{2}-0{,}045^{2}\right).
Calcule:
r_{5}^{2}-r_{4}^{2}=0{,}0081-0{,}002025=0{,}006075,
A=\pi\cdot0{,}006075=0{,}019089\\ \mathrm{m^{2}}\\ (\text{aprox.}).
Velocidade meridiana na saída a partir da vazão:
V_{m5}=\frac{Q}{A}=\frac{0{,}013}{0{,}019089}=0{,}680986\\ \left[\mathrm{m/s}\right].

Passo 8

Calcular \omega (mesmo que antes) e U_{5} e U_{4} para d_{5}=0{,}180\,[\mathrm{m}]:
\omega já calculada: \omega=366{,}5191429\,[\mathrm{rad/s}].
Velocidades periféricas:
U_{5}=\omega r_{5}=366{,}5191429\cdot0{,}090=32{,}98672286\\ \left[\mathrm{m/s}\right],
U_{4}=\omega r_{4}=366{,}5191429\cdot0{,}045=16{,}49336143\\ \left[\mathrm{m/s}\right].

Passo 9

Calcular V_{u5} para o caso d_{5}=180\,[\mathrm{mm}] usando \beta_{5}=22^{\circ} e o V_{m5} calculado.
Primeiro:
\tan(22^{\circ})=0{,}4040262258\quad\Rightarrow\quad \frac{V_{m5}}{\tan\beta_{5}}=\frac{0{,}680986}{0{,}4040262258}=1{,}685710\\ \left[\mathrm{m/s}\right].
Aplicando:
V_{u5}=U_{5}-\frac{V_{m5}}{\tan\beta_{5}}=32{,}98672286-1{,}685710=31{,}30101286\\ \left[\mathrm{m/s}\right].

Passo 10

Calcular a nova altura teórica H_\text{teórica}ó para d_{5}=180\,[\mathrm{mm}] e Q=0{,}013\,[\mathrm{m^{3}/s}]:
gH_\text{teórica}=U_{5}V_{u5}\quad\Rightarrow\quad H_\text{teórica}=\frac{U_{5}V_{u5}}{g}.óó
Substituindo:
U_{5}V_{u5}=32{,}98672286\cdot31{,}30101286=1032{,}426\\ \left[\mathrm{m^{2}/s^{2}}\right],
H_\text{teórica}=\frac{1032{,}426}{9{,}81}=105{,}275\\ \mathrm{m}.ó
Arredondando:
H_\text{teórica}\approx105{,}28\\ \mathrm{m}\quad\text{(para \(d_{5}=180\,[\mathrm{mm}]\) e \(Q=0{,}013\,[\mathrm{m^{3}/s}]\)).}ó

Resposta

\displaystyle H_\text{teórica}\approx103{,}61\\ \mathrm{m}ó
\displaystyle H_\text{teórica}\approx105{,}28\\ \mathrm{m}ó

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