Exerc. 4) Um rotor de bomba centrífuga, com rotor de
de diâmetro, gira a
. O ângulo das pás na saída é de
e a componente meridiana da velocidade absoluta é igual a
. Determine a altura teórica. Considere escoamento completamente axial (entrada radial) à entrada e que
. Se o diâmetro do rotor for diminuído para
, qual o novo valor da carga ideal? Considere
.
Passo 1
O enunciado pede a “altura teórica” (carga ideal) fornecida pelo rotor da bomba e, depois, o novo valor dessa carga quando o diâmetro do rotor é reduzido. Informações importantes dadas no enunciado que vou usar (tudo extraído do enunciado):
- diâmetro do rotor inicial:
, - rotação:
, - ângulo das pás na saída:
(ângulo da pá relativo à tangente, usado no triângulo de velocidades), - componente meridiana (axial) da velocidade absoluta na saída:
, - razão de diâmetros:
(logo ), - para o caso de redução do diâmetro, novo diâmetro:
e vazão a considerar: .
O que a questão efetivamente pergunta:
- Calcular a altura (carga) teórica do rotor quando
, usando . - Se o diâmetro do rotor for reduzido para
, calcular a nova carga ideal considerando .
Observações que vou usar (extraídas/assumidas do enunciado):
- “Considere escoamento completamente axial à entrada” implica velocidade absoluta tangencial na entrada nula:
. - Numeração: subíndice
= estação de entrada, subíndice = estação de saída (borda do rotor). - Não há figura adicional; todos os dados necessários estão no enunciado.
Passo 2
Qual teoria vamos usar (aula rápida e sem pular etapas): o teorema de Euler para turbomáquinas fornece a energia específica (carga ideal) adicionada ao fluido pela roda em função das velocidades tangenciais e das componentes tangenciais das velocidades absolutas nas seções de entrada e saída. A fórmula é
onde:
-
é a aceleração da gravidade , -
é a altura (m), -
é a velocidade periférica (tangencial) do rotor numa dada seção (m/s), com em rad/s e o raio (m), -
é a componente tangencial da velocidade absoluta do fluido (m/s) na respectiva seção.
Explicando variáveis e sinais:
e
são grandezas com sinal de acordo com a direção; aqui tomamos orientação positiva no sentido da rotação e usaremos as magnitudes com a convenção usual do teorema de Euler. Como a entrada é axial,
. Assim a fórmula simplifica para
Passo 3
Como calcular
a partir do ângulo das pás e da velocidade meridiana?
Precisamos ligar o ângulo da pá
com as componentes do triângulo de velocidades. A velocidade relativa na saída é
Em componentes tangencial e meridiana (axial):
O ângulo da pá
é o ângulo entre a direção tangencial e a velocidade relativa
. Pela definição do ângulo:
Isolando
obtemos (atenção ao sinal):
logo
Mas atenção: a convenção de sinais depende da definição do
. Para a maioria dos problemas de bomba com
medido do sentido tangencial para a direção meridiana (como aqui), a componente tangencial da velocidade absoluta é
(é a fórmula usada quando a velocidade relativa forma ângulo positivo em relação à tangente no sentido oposto ao da rotação). Vou usar esta última forma porque é a que conduz à configuração física típica de pás retrógradas/curvadas e fornece resultados coerentes com sinais em bombas (você verá que a subtração reduz a componente tangencial absoluta).
Resumo prático que usarei a seguir:
Passo 4
Calcular a rotação angular
e as velocidades periféricas para o caso inicial
.
Converter:
Calculemos numericamente:
Raio de saída e de entrada (pela razão
):
Velocidades periféricas:
Passo 5
Calcular
para o caso inicial usando
e
.
Primeiro calcule
:
Agora:
Aplicando a fórmula escolhida:
Passo 6
Calcular a altura teórica
para o caso inicial com a fórmula de Euler simplificada (entrada axial
):
Substituindo números:
Arredondando razoavelmente, obtenho:
Passo 7
Agora tratamos o caso com
. Primeiro calculamos, a partir de
, a componente meridiana de velocidade na saída
(agora não é dada; sai de
e da geometria).
Raio e geometria (mantendo
):
Área do anel por onde passa o fluido na saída:
Calcule:
Velocidade meridiana na saída a partir da vazão:
Passo 8
Calcular
(mesmo que antes) e
e
para
:
Velocidades periféricas:
Passo 9
Calcular
para o caso
usando
e o
calculado.
Primeiro:
Aplicando:
Passo 10
Calcular a nova altura teórica
para
e
:
Substituindo:
Arredondando: