[03] Determine a transformação linear
tal que
Passo 1
O enunciado pede uma aplicação linear
satisfazendo
O conteúdo é Transformações Lineares em espaços de dimensão finita. A ideia é mostrar que
é base de , depois escrever um polinômio genérico
nessa base, usar linearidade para calcular
e, finalmente, voltar à base canônica
.
é base de
Passo 2
Verificamos que
Da segunda equação
. Então
. Logo é base.
Passo 3
Queremos escrever
como combinação
Comparando coeficientes de
Da segunda equação
. Da primeira
.
Passo 4
Pela linearidade,
Substituindo as imagens conhecidas:
Agrupando termos em
fica
Passo 5
Substituindo
,
,
em cada coeficiente:
constante
constante
coeficiente de
coeficiente de
Portanto, para todo
,
Resposta
Para todo
em
,