[03] Determine a transformação linear T: \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) tal que
T(1)=x-2, \quad T\left(x-x^{2}\right)=1+3 x^{2}, \quad T\left(1-x^{2}\right)=x-2 x^{2} .

Passo 1

O enunciado pede uma aplicação linear
T\colon \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R})\to\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R})
satisfazendo
T(1)=x-2,\quad T(x-x^{2})=1+3x^{2},\quad T(1-x^{2})=x-2x^{2}.
O conteúdo é Transformações Lineares em espaços de dimensão finita. A ideia é mostrar que \{1,\;x-x^{2},\;1-x^{2}\}
é base de \mathcal{P}_{2}, depois escrever um polinômio genérico p(x)=a+bx+cx^{2} nessa base, usar linearidade para calcular T(p) e, finalmente, voltar à base canônica \{1,x,x^{2}\}.

Passo 2

Verificamos que \{1,\;x-x^{2},\;1-x^{2}\}\) é linearmente independente: se \(\alpha\cdot1+\beta\,(x-x^{2})+\gamma\,(1-x^{2})\equiv0\) então, comparando coeficientes, vem \[\begin{cases} \text{constante: } \alpha+\gamma=0,\\\ \text{coeficiente de }x: \beta=0,\\\ \text{coeficiente de }x^{2}: -\beta-\gamma=0. \end{cases}
Da segunda equação \beta=0\]. Da terceira \(-\gamma=0\implies\gamma=0. Então \alpha=0. Logo é base.

Passo 3

Queremos escrever
p(x)=a+bx+cx^{2}
como combinação
p(x)=\alpha\cdot1+\beta\,(x-x^{2})+\gamma\,(1-x^{2}).
Comparando coeficientes de 1,x,x^{2}\) obtemos o sistema \[\begin{cases} \alpha+\gamma=a,\\\ \beta=b,\\\\ -\beta-\gamma=c. \end{cases}
Da segunda equação \beta=b\]. Da terceira \(\gamma=-(c+\beta)=-(b+c). Da primeira \alpha=a-\gamma=a+b+c.

Passo 4

Pela linearidade,
T(p)=\alpha\,T(1)+\beta\,T(x-x^{2})+\gamma\,T(1-x^{2}).
Substituindo as imagens conhecidas:
T(p) =\alpha\,(x-2)+\beta\,(1+3x^{2})+\gamma\,(x-2x^{2}).
Agrupando termos em 1,x,x^{2} fica
T(p) =\bigl(-2\alpha+\beta\bigr) +\bigl(\alpha+\gamma\bigr)x +\bigl(3\beta-2\gamma\bigr)x^{2}.

Passo 5

Substituindo \alpha=a+b+c, \beta=b, \gamma=-(b+c) em cada coeficiente:
constante
-2\alpha+\beta=-2(a+b+c)+b=-2a-b-2c,
coeficiente de x
\alpha+\gamma=(a+b+c)-(b+c)=a,
coeficiente de x^{2}
3\beta-2\gamma=3b-2\bigl(-(b+c)\bigr)=5b+2c.
Portanto, para todo p(x)=a+bx+cx^{2},
T(p)(x)=(-2a-b-2c)+a\,x+(5b+2c)\,x^{2}.

Resposta

Para todo p(x)=a+bx+cx^{2} em \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}),
T\bigl(a+bx+cx^{2}\bigr) =(-2a-b-2c)+a\,x+(5b+2c)\,x^{2}.

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