Determine se as seguintes funções são transformações lineares:
l: M(2,3, \mathbb{R}) \rightarrow \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) onde l\left(\left[\begin{array}{lll}a & b & c \\\ d & e & f\end{array}\right]\right)=(d-2 a) x^{2}+(2 b+c) x+(e-f-a),

Passo 1

O enunciado define
l: M(2,3,\mathbb{R}) \to \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R})
por
l\bigl(\begin{bmatrix}a & b & c\d & e & f\end{bmatrix}\bigr) =(d-2a)x^{2}+(2b+c)x+(e-f-a).
Para ser transformação linear, l deve satisfazer, para quaisquer matrizes X,Y e escalar k:
  1. l(X+Y)=l(X)+l(Y).
  2. l(kX)=k\,l(X).

Passo 2

Teste da aditividade. Escreva
X=\begin{bmatrix}a&b&c\d&e&f\end{bmatrix}, \quad Y=\begin{bmatrix}a'&b'&c'\d'&e'&f'\end{bmatrix},
então
X+Y=\begin{bmatrix}a+a'&b+b'&c+c'\d+d'&e+e'&f+f'\end{bmatrix}.
Logo
l(X+Y) =((d+d')-2(a+a'))x^{2}+(2(b+b')+(c+c'))x+((e+e')-(f+f')-(a+a')).
Agrupando termos, isso é exatamente
(d-2a)x^{2}+(2b+c)x+(e-f-a) + (d'-2a')x^{2}+(2b'+c')x+(e'-f'-a') =l(X)+l(Y).

Passo 3

Teste da homogeneidade. Para escalar k,
kX=\begin{bmatrix}ka&kb&kc\kd&ke&kf\end{bmatrix},
portanto
l(kX) =(kd-2\,ka)x^{2}+(2\,kb+kc)x+(ke-kf-ka) =k\bigl[(d-2a)x^{2}+(2b+c)x+(e-f-a)\bigr] =k\,l(X).

Resposta

A função l é uma transformação linear.

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