Determine se as seguintes funções são transformações lineares:
k: \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) onde k\left(a x^{2}+b x+c\right)=a x^{3}-3 c x-4 b,

Passo 1

O enunciado define k\colon \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) \to \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R})
por
k\bigl(a x^{2}+b x+c\bigr)=a x^{3}-3c\,x-4b.
Queremos verificar se k é transformação linear, ou seja, satisfaz
  1. k(p+q)=k(p)+k(q) para quaisquer p,q\in\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}),
  2. k(\alpha p)=\alpha\,k(p) para todo \alpha\in\mathbb{R} e p\in\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}).

Passo 2

Sejam
p(x)=a x^{2}+b x+c, \quad q(x)=a' x^{2}+b' x+c'.
Então
p(x)+q(x)=(a+a')x^{2}+(b+b')x+(c+c')
e, aplicando k, obtemos
k\bigl(p+q\bigr) =(a+a')x^{3}-3(c+c')x-4(b+b')
\phantom{k\bigl(p+q\bigr)} =a x^{3}-3c\,x-4b \;+\; a' x^{3}-3c'\,x-4b' =k(p)+k(q).

Passo 3

Para \alpha\in\mathbb{R} e p(x)=a x^{2}+b x+c, temos
\alpha\,p(x)=\alpha a\,x^{2}+\alpha b\,x+\alpha c,
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k\bigl(\alpha p\bigr) =\alpha a\,x^{3}-3(\alpha c)x-4(\alpha b) =\alpha\bigl(a x^{3}-3c\,x-4b\bigr) =\alpha\,k(p).

Resposta

A função k satisfaz aditividade e homogeneidade, portanto é uma transformação linear.

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