03 - Um oscilador harmônico simples consiste em um bloco com massa 2,00 \mathrm{Kg} ligado a uma mola com constante 100 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. Quando t=1,00 \mathrm{~s}, a posição e a velocidade do bloco são x=0,129 \mathrm{me} v=3,415 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. a) Qual a amplitude das oscilações? Quais eram b) a posição e c) a velocidade da massa em t=0 s ?

Passo 1

O enunciado descreve um oscilador harmônico simples com massa m=2{,}00\:\mathrm{kg} e constante elástica k=100\:\mathrm{N/m}. Sabemos que em t=1{,}00\:\mathrm{s} a posição é x(1)=0{,}129\:\mathrm{m} e a velocidade é v(1)=3{,}415\:\mathrm{m/s}. Vamos usar a solução geral
x(t)=A\cos\bigl(\omega t+\varphi\bigr),\quad v(t)=-A\,\omega\sin\bigl(\omega t+\varphi\bigr)
com \omega=\sqrt{k/m} para determinar (a) a amplitude A, (b) x(0) e (c) v(0).

Passo 2

Calculamos a frequência angular:
\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{100}{2{,}00}} = \sqrt{50}\approx7{,}0711\:\mathrm{rad/s}.

Passo 3

Usando as condições em t=1, temos
\cos\theta_1 = \frac{x(1)}{A},\quad \sin\theta_1 = -\frac{v(1)}{A\,\omega},
onde \theta_1=\omega\cdot1+\varphi. Da identidade \cos^2\theta_1+\sin^2\theta_1=1 segue
A = \sqrt{x(1)^2 + \Bigl(\tfrac{v(1)}{\omega}\Bigr)^2} = \sqrt{(0{,}129)^2 + \bigl(\tfrac{3{,}415}{7{,}0711}\bigr)^2} \approx0{,}500\:\mathrm{m}.

Passo 4

Determinado A, encontramos o ângulo \theta_1 por
\cos\theta_1 = \frac{0{,}129}{0{,}500}=0{,}258,\quad \sin\theta_1 = -\frac{3{,}415}{0{,}500\cdot7{,}0711}\approx-0{,}967,
o que dá \theta_1\approx4{,}973\:\mathrm{rad}. Então
\varphi = \theta_1 - \omega\cdot1 \approx 4{,}973 - 7{,}0711 = -2{,}098\:\mathrm{rad}.

Passo 5

Em t=0 temos
x(0)=A\cos\varphi = 0{,}500\cos(-2{,}098)\approx -0{,}252\:\mathrm{m},
v(0)=-A\,\omega\sin\varphi = -0{,}500\cdot7{,}0711\sin(-2{,}098)\approx3{,}05\:\mathrm{m/s}.

Resposta

(a) A\approx0{,}500\:\mathrm{m}
(b) x(0)\approx-0{,}252\:\mathrm{m}
(c) v(0)\approx3{,}05\:\mathrm{m/s}

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