07 - Um sistema oscilatório bloco-mola possui uma energia mecânica de 1,00 \mathrm{~J} uma amplitude de 10,0 \mathrm{~cm} e uma velocidade máxima de 1,20 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Determine a) a constante elástica, b) a massa do bloco e c) a frequência de oscilação.

Passo 1

O enunciado diz que um sistema massa-mola tem energia mecânica E=1{,}00\\ \mathrm{J}, amplitude A=10{,}0\\ \mathrm{cm} e velocidade máxima v_{\max}=1{,}20\\ \mathrm{m/s}. O conteúdo é o oscilador harmônico simples, em que
– a energia mecânica é
E = \tfrac12 k A^2,
– a velocidade máxima é
v_{\max} = A\,\omega,
– e a pulsação é
\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}.
Vamos usar essas fórmulas para achar (a) k, (b) m e (c) a frequência f.

Passo 2

Primeiro converto a amplitude para metros:
A = 10{,}0\\ \mathrm{cm} = 0{,}10\\ \mathrm{m}.
Para achar a constante elástica k, uso
E = \tfrac12\,k\,A^2 \quad\Longrightarrow\quad k = \frac{2E}{A^2}.
Substituindo E=1{,}00 e A=0{,}10:
k = \frac{2 \times 1{,}00}{(0{,}10)^2} = \frac{2{,}00}{0{,}01} =200\\ \mathrm{N/m}.

Passo 3

Para determinar a massa m, uso a relação da velocidade máxima:
v_{\max} = A\,\omega \quad\text{com}\quad \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}.
Logo
v_{\max} = A \sqrt{\frac{k}{m}} \quad\Longrightarrow\quad m = \frac{k\,A^2}{v_{\max}^2}.
Substituindo k=200, A=0{,}10 e v_{\max}=1{,}20:
m = \frac{200 \times (0{,}10)^2}{(1{,}20)^2} = \frac{200 \times 0{,}01}{1{,}44} = \frac{2}{1{,}44} \approx1{,}39\\ \mathrm{kg}.

Passo 4

Finalmente, a frequência de oscilação f vem de
f = \frac{\omega}{2\pi} \quad\text{e}\quad \omega = \frac{v_{\max}}{A}.
Então
\omega = \frac{1{,}20}{0{,}10} =12\\ \mathrm{rad/s},
f = \frac{12}{2\pi} = \frac{6}{\pi} \approx1{,}91\\ \mathrm{Hz}.

Resposta

(a) k = 200\\ \mathrm{N/m}
(b) m \approx 1{,}39\\ \mathrm{kg}
(c) f \approx 1{,}91\\ \mathrm{Hz}

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