03 - A velocidade v de um foguete lançado do chão verticalmente, foi tabelada como se segue:
t(\mathrm{~s}) 0 5 10 15 20
v(\mathrm{pes} / \mathrm{s}) 0 60,6 180,1 341,6 528,4
a) Calcule a altura do foguete usando o método de 1 / 3 de Simpson repetida e o método do trapézio repetido após 20 segundos.
b) Compare os métodos.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) calcular a altura (deslocamento vertical) do foguete após 20 s usando o método de 1/3 de Simpson repetido e o método do trapézio repetido; (b) comparar os resultados.
Peguei os dados diretamente da tabela fornecida:
\begin{array}{c|ccccc} t(\text{s}) & 0 & 5 & 10 & 15 & 20\\hline v(\text{pes}/\text{s}) & 0 & 60,6 & 180,1 & 341,6 & 528,4 \end{array}
Os pontos são, em notação v_i=v(t_i):
v_0=0,\; v_1=60,6,\; v_2=180,1,\; v_3=341,6,\; v_4=528,4,
com espaçamento uniforme \Delta t=5 s e n=4 subintervalos (isso é importante para aplicar Simpson composto, que exige n par).

Passo 2

Conceito central que vamos usar: a altura (deslocamento) do foguete entre t=0 e t=20 é a integral da velocidade em relação ao tempo:
\text{altura}=\int_{0}^{20} v(t)\,dt.
Na prática, só temos valores discretos de v, então aproximamos essa integral por regras numéricas: a regra composta de Simpson \tfrac{1}{3} e a regra composta do trapézio. Vou explicar as fórmulas antes de aplicar.

Passo 3

Fórmula composta de Simpson 1/3 (para n par, h=\Delta t):
\int_{a}^{b} f(t)\,dt \approx \frac{h}{3}\Big(f_0 + f_n + 4\sum_{\substack{i=1\\\ i\text{ ímpar}}}^{n-1} f_i + 2\sum_{\substack{i=2\\\ i\text{ par}}}^{n-2} f_i\Big).í
Aqui f_i=f(t_i), h=\Delta t, n é o número de subintervalos. Explico cada termo:
  • f_0 e f_n são os valores nas extremidades;
  • a soma com coeficiente 4 soma os valores em índices ímpares (1,3,5,…);
  • a soma com coeficiente 2 soma os valores em índices pares internos (2,4,…,n-2).
    No nosso caso: h=5, n=4. Agora calculamos as somas usando os v_i da tabela.

Passo 4

Calcular as somas para Simpson (usei os dados da tabela):
\sum_{\substack{i=1\\\ i\text{ ímpar}}}^{3} v_i = v_1 + v_3 = 60,6 + 341,6 = 402,2,í
\sum_{\substack{i=2\\\ i\text{ par}}}^{2} v_i = v_2 = 180,1.
Aplicando a fórmula de Simpson:
\int_{0}^{20} v(t)\,dt \approx \frac{5}{3}\Big(v_0+v_4 + 4(v_1+v_3) + 2(v_2)\Big).
Substituindo números:
\int_{0}^{20} v(t)\,dt \approx \frac{5}{3}\Big(0 + 528,4 + 4\cdot402,2 + 2\cdot180,1\Big).
Calculo interno:
0+528,4 = 528,4,
4\cdot402,2 = 1608,8,
2\cdot180,1 = 360,2,
soma total no parêntese =528,4+1608,8+360,2=2497,4.
Agora multiplico por \frac{5}{3}:
\frac{5}{3}\cdot2497,4 = 4162,333\ldots
Arredondando razoavelmente:
\text{altura}_{\text{Simpson}}\approx 4162,33\\ \text{pes}.

Passo 5

Fórmula composta do trapézio:
\int_{a}^{b} f(t)\,dt \approx h\Big(\frac{f_0+f_n}{2} + \sum_{i=1}^{n-1} f_i\Big).
Aqui h=\Delta t e somamos todos os pontos internos sem pesos especiais (apenas o termo médio nas extremidades). Vou calcular usando os v_i da tabela.

Passo 6

Calcular a soma interna para o trapézio (usei os dados da tabela):
\sum_{i=1}^{3} v_i = v_1+v_2+v_3 = 60,6+180,1+341,6 = 582,3.
Calcule o termo das extremidades:
\frac{v_0+v_4}{2} = \frac{0+528,4}{2} = 264,2.
Somando:
264,2 + 582,3 = 846,5.
Multiplique por h=5:
\int_{0}^{20} v(t)\,dt \approx 5\cdot846,5 = 4232,5.
Portanto:
\text{altura}_{\text{Trapézio}}\approx 4232,5\\ \text{pes}.é

Passo 7

Comparação e interpretação (explicando o porquê):
  • Resultados numéricos: Simpson dá aproximadamente \,4162,33\\ \text{pes}\, e trapézio dá \,4232,5\\ \text{pes}\,. A diferença absoluta é
4232,5 - 4162,333\ldots \approx 70,17\\ \text{pes},
o que corresponde a cerca de 1{,}7\% em relação ao valor de Simpson.
  • Por que diferem e qual confiar mais? A regra do trapézio aproxima a função por segmentos lineares entre pontos; a regra de Simpson aproxima por quadráticas locais (parábolas que passam por grupos de três pontos). Quando a função é suave e não muito oscilante (caso típico em velocidade com aceleração variando suavemente), Simpson geralmente é mais precisa porque é de ordem mais alta (erro proporcional a h^4 frente a h^2 do trapézio).
  • Observando os dados (peguei os incrementos de velocidade da tabela), a aceleração aumenta com o tempo (a velocidade é convexa para cima), o que tende a fazer a aproximação por retas (trapézio) ficar acima da curva real — isto explica por que o trapézio aqui fornece um valor maior que Simpson. Assim, o resultado de Simpson é provavelmente mais próximo do valor verdadeiro da altura.

Resposta

(a) \text{altura}_{\text{Simpson}}\approx 4162,33\\ \text{pes} ; \text{altura}_{\text{Trapézio}}\approx 4232,5\\ \text{pes}é
(b) O método de Simpson é mais preciso (aproxima por quadráticas) e fornece um valor menor; o trapézio superestima aqui em cerca de 70,17\\ \text{pes} ( \approx 1{,}7\%), provavelmente porque a curva de velocidade é convexa para cima.

Exercícios relacionados