03 - A velocidade v de um foguete lançado do chão verticalmente, foi tabelada como se segue:
0
5
10
15
20
0
60,6
180,1
341,6
528,4
a) Calcule a altura do foguete usando o método de
de Simpson repetida e o método do trapézio repetido após 20 segundos.
b) Compare os métodos.
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0 | 5 | 10 | 15 | 20 |
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0 | 60,6 | 180,1 | 341,6 | 528,4 |
b) Compare os métodos.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (a) calcular a altura (deslocamento vertical) do foguete após 20 s usando o método de
de Simpson repetido e o método do trapézio repetido; (b) comparar os resultados.
Peguei os dados diretamente da tabela fornecida:
Peguei os dados diretamente da tabela fornecida:
Os pontos são, em notação
:
com espaçamento uniforme
s e
subintervalos (isso é importante para aplicar Simpson composto, que exige
par).
Passo 2
Conceito central que vamos usar: a altura (deslocamento) do foguete entre
e
é a integral da velocidade em relação ao tempo:
Na prática, só temos valores discretos de
, então aproximamos essa integral por regras numéricas: a regra composta de Simpson
e a regra composta do trapézio. Vou explicar as fórmulas antes de aplicar.
Passo 3
Fórmula composta de Simpson
(para
par,
):
Aqui
,
,
é o número de subintervalos. Explico cada termo:
-
e são os valores nas extremidades; - a soma com coeficiente
soma os valores em índices ímpares (1,3,5,…); - a soma com coeficiente
soma os valores em índices pares internos (2,4,…,n-2).
No nosso caso:, . Agora calculamos as somas usando os da tabela.
Passo 4
Calcular as somas para Simpson (usei os dados da tabela):
Aplicando a fórmula de Simpson:
Substituindo números:
Calculo interno:
soma total no parêntese
.
Agora multiplico por :
Agora multiplico por
Arredondando razoavelmente:
Passo 5
Fórmula composta do trapézio:
Aqui
e somamos todos os pontos internos sem pesos especiais (apenas o termo médio nas extremidades). Vou calcular usando os
da tabela.
Passo 6
Calcular a soma interna para o trapézio (usei os dados da tabela):
Calcule o termo das extremidades:
Somando:
Multiplique por
:
Portanto:
Passo 7
Comparação e interpretação (explicando o porquê):
- Resultados numéricos: Simpson dá aproximadamente
e trapézio dá . A diferença absoluta é
o que corresponde a cerca de
em relação ao valor de Simpson.
- Por que diferem e qual confiar mais? A regra do trapézio aproxima a função por segmentos lineares entre pontos; a regra de Simpson aproxima por quadráticas locais (parábolas que passam por grupos de três pontos). Quando a função é suave e não muito oscilante (caso típico em velocidade com aceleração variando suavemente), Simpson geralmente é mais precisa porque é de ordem mais alta (erro proporcional a
frente a do trapézio). - Observando os dados (peguei os incrementos de velocidade da tabela), a aceleração aumenta com o tempo (a velocidade é convexa para cima), o que tende a fazer a aproximação por retas (trapézio) ficar acima da curva real — isto explica por que o trapézio aqui fornece um valor maior que Simpson. Assim, o resultado de Simpson é provavelmente mais próximo do valor verdadeiro da altura.
Resposta
(a)
;
(b) O método de Simpson é mais preciso (aproxima por quadráticas) e fornece um valor menor; o trapézio superestima aqui em cerca de (
), provavelmente porque a curva de velocidade é convexa para cima.
(b) O método de Simpson é mais preciso (aproxima por quadráticas) e fornece um valor menor; o trapézio superestima aqui em cerca de