Use a continuidade das funções para calcular os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule o seguinte limite:
Informações dadas (explicitadas):
- A expressão do numerador é
. - A expressão do denominador é
. - O ponto onde a variável se aproxima é
.
Passo 2
Ideia de resolução (teoria necessária): vou usar continuidade de funções e regras de limite. Explico devagarinho o que preciso saber.
Teorema (intuitivo e usado aqui): se
e
são funções tais que
e
é contínua em
, então
Isto significa que, quando uma função é contínua num ponto, posso “trocar” o limite pelo valor da função naquele ponto.
Outra regra útil: se
e
com
, então
Vou aplicar essas ideias ao nosso problema.
Passo 3
Verificando continuidade das funções envolvidas (passo a passo e explicação do porquê posso aplicar o teorema):
- A função
é contínua em . Logo . - A função
(seno) é contínua para todo . Portanto, aplicando continuidade sobre , Aqui escrevo porque . - A função
é contínua, assim . - A soma de funções contínuas é contínua, logo
é contínua em e
Passo 4
Aplicando continuidade do seno ao composto do numerador:
- Como
é contínua em , posso passar o limite para dentro: - Do Passo 3 sabemos que
. Portanto
Passo 5
Calculo do limite do denominador:
- A função
é contínua, então - Observação importante: o limite do denominador é
, que é diferente de . Isso nos permite usar a regra do quociente de limites do Passo 2.
Passo 6
Aplicando a regra do quociente:
- Como
do numerador existe e vale e do denominador é , temos
Passo 7
Simplificando a razão final e encerrando com a resposta:
- Dividir por
não altera o valor, logo o limite é simplesmente . - Se quiser uma ideia numérica rápida (não pedida):
é aproximadamente e é aproximadamente . Mas a forma exata é melhor escrita com funções.