Use a continuidade das funções para calcular os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}\left(x^{2}+\operatorname{sen}(\cos x)\right)}{x^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule o seguinte limite:
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}\!\big(x^{2}+\operatorname{sen}(\cos x)\big)}{x^{2}+1}.
Informações dadas (explicitadas):
  • A expressão do numerador é \operatorname{sen}\big(x^{2}+\operatorname{sen}(\cos x)\big).
  • A expressão do denominador é x^{2}+1.
  • O ponto onde a variável se aproxima é x\to 0.

Passo 2

Ideia de resolução (teoria necessária): vou usar continuidade de funções e regras de limite. Explico devagarinho o que preciso saber.
Teorema (intuitivo e usado aqui): se f e g são funções tais que \lim_{x\to a} g(x)=L e f é contínua em L, então
\lim_{x\to a} f(g(x)) = f\big(\lim_{x\to a} g(x)\big) = f(L).
Isto significa que, quando uma função é contínua num ponto, posso “trocar” o limite pelo valor da função naquele ponto.
Outra regra útil: se \lim_{x\to a} u(x)=U e \lim_{x\to a} v(x)=V com V\neq 0, então
\lim_{x\to a}\frac{u(x)}{v(x)}=\frac{U}{V}.
Vou aplicar essas ideias ao nosso problema.

Passo 3

Verificando continuidade das funções envolvidas (passo a passo e explicação do porquê posso aplicar o teorema):
  • A função \cos x é contínua em x=0. Logo \lim_{x\to 0}\cos x=\cos 0=1.
  • A função \operatorname{sen} t (seno) é contínua para todo t. Portanto, aplicando continuidade sobre \cos x, \lim_{x\to 0}\operatorname{sen}(\cos x)=\operatorname{sen}\!\big(\lim_{x\to 0}\cos x\big)=\operatorname{sen}(1).Aqui escrevo \operatorname{sen}(1) porque \cos 0=1.
  • A função x\mapsto x^{2} é contínua, assim \lim_{x\to 0} x^{2}=0.
  • A soma de funções contínuas é contínua, logo x^{2}+\operatorname{sen}(\cos x) é contínua em 0 e \lim_{x\to 0}\big(x^{2}+\operatorname{sen}(\cos x)\big)=0+\operatorname{sen}(1)=\operatorname{sen}(1).

Passo 4

Aplicando continuidade do seno ao composto do numerador:
  • Como \operatorname{sen} t é contínua em t=\operatorname{sen}(1), posso passar o limite para dentro: \lim_{x\to 0}\operatorname{sen}\!\big(x^{2}+\operatorname{sen}(\cos x)\big) =\operatorname{sen}\!\Big(\lim_{x\to 0}\big(x^{2}+\operatorname{sen}(\cos x)\big)\Big).
  • Do Passo 3 sabemos que \lim_{x\to 0}\big(x^{2}+\operatorname{sen}(\cos x)\big)=\operatorname{sen}(1). Portanto \lim_{x\to 0}\operatorname{sen}\!\big(x^{2}+\operatorname{sen}(\cos x)\big)=\operatorname{sen}\big(\operatorname{sen}(1)\big).

Passo 5

Calculo do limite do denominador:
  • A função x\mapsto x^{2}+1 é contínua, então \lim_{x\to 0}\big(x^{2}+1\big)=0^{2}+1=1.
  • Observação importante: o limite do denominador é 1, que é diferente de 0. Isso nos permite usar a regra do quociente de limites do Passo 2.

Passo 6

Aplicando a regra do quociente:
  • Como \lim_{x\to 0} do numerador existe e vale \operatorname{sen}(\operatorname{sen}(1)) e \lim_{x\to 0} do denominador é 1\neq 0, temos \lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}\!\big(x^{2}+\operatorname{sen}(\cos x)\big)}{x^{2}+1} =\frac{\operatorname{sen}\big(\operatorname{sen}(1)\big)}{1}.

Passo 7

Simplificando a razão final e encerrando com a resposta:
  • Dividir por 1 não altera o valor, logo o limite é simplesmente \operatorname{sen}\big(\operatorname{sen}(1)\big).
  • Se quiser uma ideia numérica rápida (não pedida): \operatorname{sen}(1) é aproximadamente 0{,}84147 e \operatorname{sen}(\operatorname{sen}(1)) é aproximadamente \operatorname{sen}(0{,}84147)\approx 0{,}746. Mas a forma exata é melhor escrita com funções.

Resposta

\operatorname{sen}\big(\operatorname{sen}(1)\big)

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