Use a continuidade das funções para calcular os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow+\infty} e^{\frac{x+1}{x-1}}

Passo 1

O enunciado pede o seguinte limite:
\lim_{x\rightarrow +\infty} e^{\frac{x+1}{x-1}}.
Informações úteis dadas pelo enunciado: estamos a avaliar a função exponencial x\mapsto e^{\frac{x+1}{x-1}} quando x tende para +\infty. Não há outras restrições ou parâmetros.

Passo 2

Vamos calcular primeiro o limite do expoente, isto é,
L=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{x+1}{x-1}.
Para avaliar esse tipo de limite racional, o truque clássico é dividir numerador e denominador por x (a maior potência de x presente). Fazendo isso obtemos:
\frac{x+1}{x-1}=\frac{x\left(1+\frac{1}{x}\right)}{x\left(1-\frac{1}{x}\right)}=\frac{1+\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}}.

Passo 3

Agora use que, quando x\rightarrow +\infty, temos \frac{1}{x}\rightarrow 0. Então na expressão do passo anterior os termos com \frac{1}{x} vão para zero, e portanto
L=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{1+\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}}=\frac{1+0}{1-0}=1.
Explicando devagar: as operações de soma, subtração e divisão por números não nulos preservam limites, então podemos substituir \frac{1}{x} por 0 no limite.

Passo 4

Agora precisamos voltar ao limite original com a exponencial. Usamos a propriedade de composição com funções contínuas: se \varphi(x) tem limite L quando x\to a e f é contínua em L, então
\lim_{x\to a} f(\varphi(x)) = f\!\left(\lim_{x\to a}\varphi(x)\right).
A função exponencial t\mapsto e^{t} é contínua para todo t\in\mathbb{R} (na prática, é diferenciável, então especialmente contínua). Como já encontramos L=1 para o expoente, podemos aplicar a continuidade:
\lim_{x\rightarrow +\infty} e^{\frac{x+1}{x-1}} = e^{\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{x+1}{x-1}} = e^{1}.

Passo 5

Concluímos que o limite pedido existe e vale e^{1}, que normalmente escrevemos simplesmente como e. Força aí — esse tipo de limite é padrão: calcular o limite do expoente e depois aplicar a continuidade da exponencial.

Resposta

e

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