Use a continuidade das funções para calcular os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede o seguinte limite:
Informações úteis dadas pelo enunciado: estamos a avaliar a função exponencial
quando
tende para
. Não há outras restrições ou parâmetros.
Passo 2
Vamos calcular primeiro o limite do expoente, isto é,
Para avaliar esse tipo de limite racional, o truque clássico é dividir numerador e denominador por
(a maior potência de
presente). Fazendo isso obtemos:
Passo 3
Agora use que, quando
, temos
. Então na expressão do passo anterior os termos com
vão para zero, e portanto
Explicando devagar: as operações de soma, subtração e divisão por números não nulos preservam limites, então podemos substituir
por
no limite.
Passo 4
Agora precisamos voltar ao limite original com a exponencial. Usamos a propriedade de composição com funções contínuas: se
tem limite
quando
e
é contínua em
, então
A função exponencial
é contínua para todo
(na prática, é diferenciável, então especialmente contínua). Como já encontramos
para o expoente, podemos aplicar a continuidade:
Passo 5
Concluímos que o limite pedido existe e vale
, que normalmente escrevemos simplesmente como
. Força aí — esse tipo de limite é padrão: calcular o limite do expoente e depois aplicar a continuidade da exponencial.