03 Você recebe um lápis, uma régua de 30 cm , um peso cilíndrico de 50 g e um peso cilíndrico de 10 g . Descreva como seria possível determinar, aproximadamente, de forma experimental a massa da régua.
Passo 1
O problema pede que você descreva um procedimento experimental, aproximado, para determinar a massa da régua (de
) usando apenas: um lápis (que servirá de apoio/fulcro), a régua de
, e dois pesos cilíndricos de
e
.
Informações dadas:
Informações dadas:
Objetivo: determinar experimentalmente a massa desconhecida da régua (vou chamar essa massa de
).
Passo 2
Primeiro passo prático: encontrar o ponto de equilíbrio (centro de massa) da régua sozinha.
Como fazer: coloque a régua em cima do lápis e deslize o lápis até a régua ficar em equilíbrio horizontal (não caindo para nenhum dos lados). Marque nesse ponto a posição do fulcro relativo à régua (por exemplo, meça a distância desse ponto a uma das extremidades). Esse ponto é o centro de massa da régua se a régua for aproximadamente homogênea — mas mesmo que não seja perfeitamente homogênea, ele é o ponto onde a força peso resultante age. Chame a distância do fulcro à marca do centro de massa de (em cm); quando você equilibrar a régua sozinha, obterá
pois o fulcro coincide com o centro de massa nesse teste; o que nos interessa é marcar onde fica o centro de massa (posição ao longo da régua).
Como fazer: coloque a régua em cima do lápis e deslize o lápis até a régua ficar em equilíbrio horizontal (não caindo para nenhum dos lados). Marque nesse ponto a posição do fulcro relativo à régua (por exemplo, meça a distância desse ponto a uma das extremidades). Esse ponto é o centro de massa da régua se a régua for aproximadamente homogênea — mas mesmo que não seja perfeitamente homogênea, ele é o ponto onde a força peso resultante age. Chame a distância do fulcro à marca do centro de massa de
Por que isso funciona (explicação didática, curta): o equilíbrio sem rotação ocorre quando os momentos (torques) das partes da régua em torno do ponto de apoio se cancelam. O ponto onde isso ocorre é, por definição, o centro de massa.
Passo 3
Agora vamos usar o princípio do momento (alavanca) para achar
. Conceito-chave (explicado): torque (momento) é a tendência de uma força em fazer girar um corpo em torno de um ponto; para forças verticais simples aplicadas a distâncias horizontais do fulcro, o torque vale força
distância perpendicular. Aqui as forças são os pesos (força = massa
), e como o fator
é comum a todos, ele se cancela nas equações em massa, então podemos trabalhar com massas diretamente em vez de pesos.
Regra de equilíbrio para torques (em linguagem simples): para que o sistema fique em equilíbrio sem girar, a soma dos torques que tendem a girar num sentido deve igualar a soma dos torques que tendem a girar no sentido oposto.
Passo 4
Escolha uma nova posição de fulcro: coloque o lápis sob a régua em um ponto diferente do centro de massa marcado (por exemplo, deslocado para a esquerda). Meça e anote a distância (em cm) entre esse fulcro e o centro de massa marcado da régua; chame essa distância de
. Importante:
é a distância entre o fulcro e o ponto onde age o peso total da régua (centro de massa).
Agora coloque os dois pesos de
e
no outro lado do fulcro (ou ambos no mesmo lado) em posições que permitam equilibrar o sistema — isto é, deslize-os ao longo da régua até o conjunto régua+pesos ficar horizontal. Meça as distâncias (em cm) de cada peso ao fulcro; chame-as de
e
, respectivamente. Tome cuidado com o sinal: se o centro de massa da régua ficar de um lado do fulcro e os pesos do outro, então todos os torques de um lado somam e os do outro somam com o mesmo sinal oposto; para evitar confusão, organize para que o centro de massa da régua esteja de um lado e os dois pesos do outro lado do fulcro (arranjo mais simples).
Passo 5
Escrevendo a condição de equilíbrio de torques (arranjo com centro de massa de um lado e os dois pesos do outro), temos:
onde
Explicação: cada termo
representa o torque relativo (proporcional ao peso
distância); os torques dos pesos no lado direito equilibram o torque da régua no lado esquerdo.
Passo 6
Isolando
obtemos a fórmula prática para calcular a massa da régua:
Observações práticas: todas as massas estão em gramas e distâncias em centímetros; o resultado vem em gramas. Não é necessário incluir
(aceleração da gravidade) porque ele cancela.
Passo 7
Dicas experimentais para obter boa aproximação:
- Escolha distâncias que tornem
suficientemente grande para reduzir erro relativo (evite muito pequeno). Por exemplo, coloque o fulcro deslocado mas não rente a uma extremidade. - Posicione os pesos de forma que o equilíbrio seja estável e fácil de medir (por exemplo, um peso perto da extremidade e outro mais interno).
- Meça distâncias com régua marcada em cm; repita o experimento algumas vezes mudando levemente as posições e faça a média dos resultados para reduzir erro aleatório.
- Cuidado com fricção do lápis e com o fato de os pesos serem cilíndricos (posicioná-los bem para que o ponto de aplicação da força vertical seja claro — idealmente coloque-os sobre a régua, no centro do cilindro).
Passo 8
Exemplo numérico ilustrativo (apenas para ver como aplicar a fórmula): suponha que ao marcar o centro de massa você o encontrou em
da extremidade esquerda; então você coloca o fulcro a
da esquerda, de modo que
Se você colocar o peso de
na posição
e o de
na posição
(medidas desde a esquerda), então
Aplicando a fórmula:
Isso seria o valor experimental obtido nesse arranjo; na prática você ajustaria posições para obter medidas mais confiáveis e repetiria para ter média e estimativa de erro.
Passo 9
Resumo do procedimento passo a passo para fazer na prática (para levar ao laboratório/prova):
- Equilibre a régua sozinha sobre o lápis; marque o centro de massa.
- Escolha um novo ponto para o fulcro (lápis), diferente do centro de massa; meça
(distância fulcro–centro de massa). - Coloque os pesos de
e do outro lado do fulcro em posições medidas; anote e . - Quando a régua ficar em equilíbrio, use a fórmula
para calcular a massa da régua. - Repita e faça média para reduzir erro.
Resposta
Marcar o centro de massa da régua equilibrando-a sobre o lápis; escolher um fulcro (lápis) deslocado desse centro e medir
(distância fulcro–centro de massa); colocar os pesos de
e
do outro lado do fulcro em distâncias medidas
e
; então calcular