03 Você recebe um lápis, uma régua de 30 cm , um peso cilíndrico de 50 g e um peso cilíndrico de 10 g . Descreva como seria possível determinar, aproximadamente, de forma experimental a massa da régua.

Passo 1

O problema pede que você descreva um procedimento experimental, aproximado, para determinar a massa da régua (de 30\\ \mathrm{cm}) usando apenas: um lápis (que servirá de apoio/fulcro), a régua de 30\\ \mathrm{cm}, e dois pesos cilíndricos de 50\\ \mathrm{g} e 10\\ \mathrm{g}.
Informações dadas:
\text{régua: }30\\ \mathrm{cm};\qquad \text{pesos: }50\\ \mathrm{g}\\ \text{e}\\\ 10\\ \mathrm{g};\qquad \text{apoio: lápis (fulcro móvel).}éáó
Objetivo: determinar experimentalmente a massa desconhecida da régua (vou chamar essa massa de m_r).

Passo 2

Primeiro passo prático: encontrar o ponto de equilíbrio (centro de massa) da régua sozinha.
Como fazer: coloque a régua em cima do lápis e deslize o lápis até a régua ficar em equilíbrio horizontal (não caindo para nenhum dos lados). Marque nesse ponto a posição do fulcro relativo à régua (por exemplo, meça a distância desse ponto a uma das extremidades). Esse ponto é o centro de massa da régua se a régua for aproximadamente homogênea — mas mesmo que não seja perfeitamente homogênea, ele é o ponto onde a força peso resultante age. Chame a distância do fulcro à marca do centro de massa de d_{\text{cm}} (em cm); quando você equilibrar a régua sozinha, obterá d_{\text{cm}}=0 pois o fulcro coincide com o centro de massa nesse teste; o que nos interessa é marcar onde fica o centro de massa (posição ao longo da régua).
Por que isso funciona (explicação didática, curta): o equilíbrio sem rotação ocorre quando os momentos (torques) das partes da régua em torno do ponto de apoio se cancelam. O ponto onde isso ocorre é, por definição, o centro de massa.

Passo 3

Agora vamos usar o princípio do momento (alavanca) para achar m_r. Conceito-chave (explicado): torque (momento) é a tendência de uma força em fazer girar um corpo em torno de um ponto; para forças verticais simples aplicadas a distâncias horizontais do fulcro, o torque vale força \times distância perpendicular. Aqui as forças são os pesos (força = massa \times g), e como o fator g é comum a todos, ele se cancela nas equações em massa, então podemos trabalhar com massas diretamente em vez de pesos.
Regra de equilíbrio para torques (em linguagem simples): para que o sistema fique em equilíbrio sem girar, a soma dos torques que tendem a girar num sentido deve igualar a soma dos torques que tendem a girar no sentido oposto.

Passo 4

Escolha uma nova posição de fulcro: coloque o lápis sob a régua em um ponto diferente do centro de massa marcado (por exemplo, deslocado para a esquerda). Meça e anote a distância (em cm) entre esse fulcro e o centro de massa marcado da régua; chame essa distância de d_r. Importante: d_r é a distância entre o fulcro e o ponto onde age o peso total da régua (centro de massa).
Agora coloque os dois pesos de 50\\ \mathrm{g} e 10\\ \mathrm{g} no outro lado do fulcro (ou ambos no mesmo lado) em posições que permitam equilibrar o sistema — isto é, deslize-os ao longo da régua até o conjunto régua+pesos ficar horizontal. Meça as distâncias (em cm) de cada peso ao fulcro; chame-as de d_{50} e d_{10}, respectivamente. Tome cuidado com o sinal: se o centro de massa da régua ficar de um lado do fulcro e os pesos do outro, então todos os torques de um lado somam e os do outro somam com o mesmo sinal oposto; para evitar confusão, organize para que o centro de massa da régua esteja de um lado e os dois pesos do outro lado do fulcro (arranjo mais simples).

Passo 5

Escrevendo a condição de equilíbrio de torques (arranjo com centro de massa de um lado e os dois pesos do outro), temos:
m_{50}\,d_{50} + m_{10}\,d_{10} = m_r\,d_r,
onde
m_{50}=50\\ \mathrm{g},\quad m_{10}=10\\ \mathrm{g},\quad m_r=\text{massa da régua (incógnita)}.éó
Explicação: cada termo m\cdot d representa o torque relativo (proporcional ao peso \times distância); os torques dos pesos no lado direito equilibram o torque da régua no lado esquerdo.

Passo 6

Isolando m_r obtemos a fórmula prática para calcular a massa da régua:
m_r=\frac{m_{50}\,d_{50} + m_{10}\,d_{10}}{d_r}.
Observações práticas: todas as massas estão em gramas e distâncias em centímetros; o resultado vem em gramas. Não é necessário incluir g (aceleração da gravidade) porque ele cancela.

Passo 7

Dicas experimentais para obter boa aproximação:
  • Escolha distâncias que tornem d_r suficientemente grande para reduzir erro relativo (evite d_r muito pequeno). Por exemplo, coloque o fulcro deslocado mas não rente a uma extremidade.
  • Posicione os pesos de forma que o equilíbrio seja estável e fácil de medir (por exemplo, um peso perto da extremidade e outro mais interno).
  • Meça distâncias com régua marcada em cm; repita o experimento algumas vezes mudando levemente as posições e faça a média dos resultados para reduzir erro aleatório.
  • Cuidado com fricção do lápis e com o fato de os pesos serem cilíndricos (posicioná-los bem para que o ponto de aplicação da força vertical seja claro — idealmente coloque-os sobre a régua, no centro do cilindro).

Passo 8

Exemplo numérico ilustrativo (apenas para ver como aplicar a fórmula): suponha que ao marcar o centro de massa você o encontrou em 15\\ \mathrm{cm} da extremidade esquerda; então você coloca o fulcro a 10\\ \mathrm{cm} da esquerda, de modo que
d_r=15-10=5\\ \mathrm{cm}.
Se você colocar o peso de 50\\ \mathrm{g} na posição 25\\ \mathrm{cm} e o de 10\\ \mathrm{g} na posição 20\\ \mathrm{cm} (medidas desde a esquerda), então
d_{50}=25-10=15\\ \mathrm{cm},\qquad d_{10}=20-10=10\\ \mathrm{cm}.
Aplicando a fórmula:
m_r=\frac{50\cdot 15 + 10\cdot 10}{5}=\frac{750+100}{5}=\frac{850}{5}=170\\ \mathrm{g}.
Isso seria o valor experimental obtido nesse arranjo; na prática você ajustaria posições para obter medidas mais confiáveis e repetiria para ter média e estimativa de erro.

Passo 9

Resumo do procedimento passo a passo para fazer na prática (para levar ao laboratório/prova):
  1. Equilibre a régua sozinha sobre o lápis; marque o centro de massa.
  2. Escolha um novo ponto para o fulcro (lápis), diferente do centro de massa; meça d_r (distância fulcro–centro de massa).
  3. Coloque os pesos de 50\\ \mathrm{g} e 10\\ \mathrm{g} do outro lado do fulcro em posições medidas; anote d_{50} e d_{10}.
  4. Quando a régua ficar em equilíbrio, use a fórmula \displaystyle m_r=\frac{m_{50}\,d_{50} + m_{10}\,d_{10}}{d_r} para calcular a massa da régua.
  5. Repita e faça média para reduzir erro.

Resposta

Marcar o centro de massa da régua equilibrando-a sobre o lápis; escolher um fulcro (lápis) deslocado desse centro e medir d_r (distância fulcro–centro de massa); colocar os pesos de 50\\ \mathrm{g} e 10\\ \mathrm{g} do outro lado do fulcro em distâncias medidas d_{50} e d_{10}; então calcular
m_r=\frac{50\cdot d_{50} + 10\cdot d_{10}}{d_r}\\ \mathrm{(g)}.

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