Um trompetista está tocando uma nota de frequência 440 Hz enquanto está sentado em uma varanda em frente a uma estrada que termina na rua em frente à sua casa. Que frequência é ouvida por um passageiro de um carro que se aproxima do trompetista a 30 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ?

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule a frequência que um passageiro ouve quando se aproxima do trompetista. Informações dadas:
  • A nota emitida pelo trompetista tem frequência 440\\ \mathrm{Hz}.
  • O passageiro (observador) aproxima-se do trompetista com velocidade 30\\ \mathrm{m/s}.
  • O trompetista está parado (a fonte é estacionária).
    Pergunta clara: qual é a frequência percebida pelo passageiro?

Passo 2

Conceito importante: quando a fonte sonora está estacionária e o observador se move em direção à fonte, o número de frentes de onda que atingem o observador por segundo aumenta — isso é o efeito Doppler para som com observador móvel. Não precisa decorar fórmula sem entender: vamos deduzir de um jeito simples.
Primeiro, lembre o que é comprimento de onda e velocidade de propagação: se a fonte emite ondas com frequência f_s e a velocidade do som no ar é v, então o comprimento de onda \lambda é a distância entre frentes sucessivas e vale
\lambda=\frac{v}{f_s}.
Agora imagine o observador vindo em direção à fonte com velocidade v_o. As frentes de onda viajam na direção do observador com velocidade v, mas o observador vai ao encontro delas, então a velocidade relativa entre frentes e observador é v+v_o. A frequência percebida f

Passo 3

) é o número de frentes que o observador encontra por segundo, ou seja a velocidade relativa dividida pelo comprimento de onda:
f'=\frac{v+v_o}{\lambda}.
Substituindo \lambda pela expressão acima obtemos a fórmula prática:
f' = f_s\left(\frac{v+v_o}{v}\right)=f_s\left(1+\frac{v_o}{v}\right).
Aqui eu explico cada símbolo: f' é a frequência ouvida pelo observador, f_s é a frequência emitida pela fonte, v é a velocidade do som no ar e v_o é a velocidade do observador (positiva quando se aproxima da fonte).

Passo 4

Agora vamos aplicar com os números do enunciado. Precisamos escolher um valor para a velocidade do som v. Uma escolha comum e razoável à temperatura ambiente é
v=343\\ \mathrm{m/s}
(esta é a velocidade do som no ar a cerca de 20^\circ\mathrm{C}). Usando f_s=440\\ \mathrm{Hz} e v_o=30\\ \mathrm{m/s}, a fórmula dá
f' = 440\left(1+\frac{30}{343}\right).

Passo 5

Faço as contas passo a passo sem pular:
\frac{30}{343}\approx 0,087458\quad\text{(ou seja cerca de }8{,}7458\%\text{)}.
Portanto
f' \approx 440\bigl(1+0,087458\bigr)=440\times 1,087458.
Multiplicando:
440\times 1,087458 \approx 478,480.
Arredondando de forma razoável para uma casa decimal, isso fica 478,5\\ \mathrm{Hz}.

Passo 6

Interpretação rápida e motivadora: o passageiro ouve uma frequência maior que a original — cerca de 38{,}5\\ \mathrm{Hz} acima de 440\\ \mathrm{Hz}, ou aproximadamente 8{,}75\% mais agudo. Se quisermos outro valor para a velocidade do som (por ex. 340\\ \mathrm{m/s}) o resultado mudaria ligeiramente, então é bom mencionar que usamos v=343\\ \mathrm{m/s} como hipótese padrão.

Resposta

\;478{,}5\\ \mathrm{Hz}

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