Uma corda esticada tem massa de 180 g e comprimento de
. Que potência deve ser fornecida à corda, de modo a gerar ondas senoidais, com uma amplitude de 5 cm e comprimento de onda de 20 cm , e s propagando com uma velocidade de
.
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar a potência que deve ser fornecida à corda para gerar ondas senoidais com as características dadas.
Dados fornecidos (já convertidos para unidades do SI quando necessário):
(peguei do enunciado:
),
,
(peguei do enunciado:
),
(peguei do enunciado:
),
.
Pergunta explicitamente: qual a potência média necessária (em watts) para manter essa onda na corda?
Dados fornecidos (já convertidos para unidades do SI quando necessário):
Pergunta explicitamente: qual a potência média necessária (em watts) para manter essa onda na corda?
Passo 2
Noções básicas e fórmula que usamos (vou explicar por que ela vale): a potência instantânea transmitida por uma corda vibrante, em um ponto, é dada pelo produto da força transversal exercida pela corda sobre uma seção e da velocidade transversal dessa seção. Para uma corda sob tensão constante
e perturbação transverse
temos a expressão
Aqui
é a inclinação da corda (dá a componente da força devido à tensão) e
é a velocidade vertical da corda naquele ponto. Não se assuste com o sinal: vamos usar o valor médio positivo da potência que é transportada pela onda.
Passo 3
Aplicando a solução senoidal: suponha uma onda progressiva senoidal da forma
onde
é a amplitude,
é o número de onda (
) e
é a frequência angular (
). Calculamos as derivadas:
Substituindo em
obtemos
A potência média em um ponto (média no tempo sobre um período) usa que a média de
é
. Logo a potência média transportada pela onda é
Passo 4
Eliminando a tensão
em favor de quantidades mais conhecidas: a velocidade de propagação em uma corda é relacionada à tensão e à densidade linear por
onde
é a densidade linear de massa (massa por comprimento). Isolando
fica
. Também usamos
(pois
). Substituindo tudo em
dá
Portanto a fórmula prática que vamos usar é
Explicando cada símbolo:
é massa por comprimento (
),
é a frequência angular (
),
a amplitude (
) e
a velocidade de propagação (
). Essa fórmula dá a potência média transportada pela onda.
Passo 5
Calculemos
. Pela definição,
Fazendo a divisão:
Passo 6
Calculemos
. Primeiro a frequência
vem de
, então
A frequência angular é
, portanto
Passo 7
Agora aplicamos a fórmula
. Vamos calcular passo a passo:
Calcule
:
Calcule
:
Multiplicando
:
Primeiro
Depois multiplicando por :
Multiplicando por :
Depois multiplicando por
Multiplicando por
Finalmente dividimos por 2:
Passo 8
Arredondamento e interpretação: com os dados fornecidos, a potência média necessária para manter a onda senoidal na corda é aproximadamente
. Dá para arredondar para duas casas significativas se preferir, mas este valor já está coerente com os dados.