Uma corda esticada tem massa de 180 g e comprimento de 2,60 \mathrm{~m}. Que potência deve ser fornecida à corda, de modo a gerar ondas senoidais, com uma amplitude de 5 cm e comprimento de onda de 20 cm , e s propagando com uma velocidade de 5,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar a potência que deve ser fornecida à corda para gerar ondas senoidais com as características dadas.
Dados fornecidos (já convertidos para unidades do SI quando necessário):
m=0,180\\ \mathrm{kg} (peguei do enunciado: 180\\ \mathrm{g}), L=2,60\\ \mathrm{m}, A=0,05\\ \mathrm{m} (peguei do enunciado: 5\\ \mathrm{cm}), \lambda=0,20\\ \mathrm{m} (peguei do enunciado: 20\\ \mathrm{cm}), v=5,0\\ \mathrm{m/s}.
Pergunta explicitamente: qual a potência média necessária (em watts) para manter essa onda na corda?

Passo 2

Noções básicas e fórmula que usamos (vou explicar por que ela vale): a potência instantânea transmitida por uma corda vibrante, em um ponto, é dada pelo produto da força transversal exercida pela corda sobre uma seção e da velocidade transversal dessa seção. Para uma corda sob tensão constante T e perturbação transverse y(x,t) temos a expressão
P(x,t) = -T\,\frac{\partial y}{\partial x}\,\frac{\partial y}{\partial t}.
Aqui \partial y/\partial x é a inclinação da corda (dá a componente da força devido à tensão) e \partial y/\partial t é a velocidade vertical da corda naquele ponto. Não se assuste com o sinal: vamos usar o valor médio positivo da potência que é transportada pela onda.

Passo 3

Aplicando a solução senoidal: suponha uma onda progressiva senoidal da forma
y(x,t)=A\sin(kx-\omega t),
onde A é a amplitude, k é o número de onda ( k=2\pi/\lambda) e \omega é a frequência angular ( \omega=2\pi f). Calculamos as derivadas:
\frac{\partial y}{\partial x}=A k\cos(kx-\omega t),
\frac{\partial y}{\partial t}=-A\omega\cos(kx-\omega t).
Substituindo em P(x,t) obtemos
P(x,t)=T A^2 k\omega \cos^2(kx-\omega t).
A potência média em um ponto (média no tempo sobre um período) usa que a média de \cos^2 é 1/2. Logo a potência média transportada pela onda é
\langle P\rangle = \frac{1}{2}T A^2 k\omega.

Passo 4

Eliminando a tensão T em favor de quantidades mais conhecidas: a velocidade de propagação em uma corda é relacionada à tensão e à densidade linear por
v=\sqrt{\frac{T}{\mu}},
onde \mu é a densidade linear de massa (massa por comprimento). Isolando T fica T=\mu v^2. Também usamos k=\omega/v (pois v=\omega/k). Substituindo tudo em \langle P\rangle
\langle P\rangle = \frac{1}{2}(\mu v^2) A^2 \,k\omega = \frac{1}{2}\mu v^2 A^2 \frac{\omega^2}{v} = \frac{1}{2}\mu \omega^2 A^2 v.
Portanto a fórmula prática que vamos usar é
\boxed{\langle P\rangle = \tfrac{1}{2}\,\mu\,\omega^{2}\,A^{2}\,v.}
Explicando cada símbolo: \mu é massa por comprimento ( \mathrm{kg/m}), \omega é a frequência angular ( \mathrm{rad/s}), A a amplitude ( \mathrm{m}) e v a velocidade de propagação ( \mathrm{m/s}). Essa fórmula dá a potência média transportada pela onda.

Passo 5

Calculemos \mu. Pela definição,
\mu=\frac{m}{L}=\frac{0,180\\ \mathrm{kg}}{2,60\\ \mathrm{m}}.
Fazendo a divisão:
\mu=0,069230769\\ \mathrm{kg/m}\approx 0,06923\\ \mathrm{kg/m}.

Passo 6

Calculemos \omega. Primeiro a frequência f vem de v=\lambda f, então
f=\frac{v}{\lambda}=\frac{5,0\\ \mathrm{m/s}}{0,20\\ \mathrm{m}}=25\\ \mathrm{Hz}.
A frequência angular é \omega=2\pi f, portanto
\omega=2\pi\cdot 25=50\pi\\ \mathrm{rad/s}\approx 157,0796\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 7

Agora aplicamos a fórmula \langle P\rangle=\tfrac{1}{2}\mu\omega^{2}A^{2}v. Vamos calcular passo a passo:
Calcule \omega^{2}:
\omega^{2}=(50\pi)^{2}=2500\pi^{2}\approx 24674,0\\ (\mathrm{rad}^2/\mathrm{s}^2).
Calcule A^{2}:
A^{2}=(0,05\\ \mathrm{m})^{2}=0,0025\\ \mathrm{m}^{2}.
Multiplicando \mu\omega^{2}A^{2}v:
\mu\omega^{2}A^{2}v \approx 0,069230769\times 24674,0\times 0,0025\times 5,0.
Primeiro \mu\omega^{2}\approx 0,069230769\times 24674,0\approx 1708,81.
Depois multiplicando por A^{2}: 1708,81\times 0,0025\approx 4,27203.
Multiplicando por v=5,0: 4,27203\times 5,0\approx 21,36015.
Finalmente dividimos por 2:
\langle P\rangle = \frac{21,36015}{2}\approx 10,6801\\ \mathrm{W}.

Passo 8

Arredondamento e interpretação: com os dados fornecidos, a potência média necessária para manter a onda senoidal na corda é aproximadamente 10,7\\ \mathrm{W}. Dá para arredondar para duas casas significativas se preferir, mas este valor já está coerente com os dados.

Resposta

10,7\\ \text{W}

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