04)
Achar f(x, y)=, se
[
=\frac{x{2}-y{2}}{2 x y}

Passo 1

O exercício dá a função de duas variáveis f(x,y)=x^2-y^22xy e pede para encontrar as expressões f(y,x), f(-x,-y), f(1/x,1/y) e 1/f(x,y). Vamos usar trocas de variáveis e simplificação algébrica.

Passo 2

Para calcular f(y,x) a gente troca x por y e y por x em f(x,y):
f(y,x)=y^2-x^22,y,x
Observando que y^2-x^2=-(x^2-y^2) e y,x=x,y, temos
f(y,x)=-x^2-y^22xy=-f(x,y)

Passo 3

Para f(-x,-y) a gente troca xto -x e yto -y:
f(-x,-y)=(-x)^2-(-y)^22(-x)(-y)=x^2-y^22xy=f(x,y)
Isso mostra que a função é par em cada variável simultaneamente.

Passo 4

Para f(1/x,1/y) substituímos xto1/x e yto1/y:
f(1/x,1/y)=1/x^2-1/y^22,(1/x)(1/y)=y^2-x^2x^2y^22/(xy)=y^2-x^22xy=-f(x,y)

Passo 5

Para tfrac1f(x,y) basta inverter a fração original:
1f(x,y)=2xyx^2-y^2

Resposta

f(y,x)=-f(x,y)
f(-x,-y)=f(x,y)
f(1/x,1/y)=-f(x,y)
1/f(x,y)=\frac{2xy}{x2-y2}

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