04- Um determinado átomo com comportamento hidrogenide possui a carga nuclear 40 vezes a carga do elétron. Dessa forma qual seria o valor da constante \mathbf{R} de Rydberg.

Passo 1

O enunciado diz que temos um átomo hidrogenoide (ou seja, um único elétron ligado a um núcleo) cuja carga nuclear é 40 vezes a carga do elétron. Pergunta-se qual é o valor da constante de Rydberg R para esse átomo.
Informações dadas:
  • carga nuclear igual a 40 vezes a carga do elétron, portanto Z=40;
  • trata-se de átomo hidrogenoide (um elétron em torno de um núcleo de carga +Ze);
  • não foi dada massa do núcleo.
O que é pedido:
  • calcular o valor da constante de Rydberg R correspondente a esse átomo.

Passo 2

Breve explicação do que é a constante de Rydberg e como ela aparece nas linhas espectrais.
  • Em átomos hidrogenoides, as transições entre níveis de energia produzem fótons com número de onda (inverso do comprimento de onda) dado por
\frac{1}{\lambda}=R\,Z^{2}\!\left(\frac{1}{n_{f}^{2}}-\frac{1}{n_{i}^{2}}\right),
onde n_{i} e n_{f} são números quânticos principais dos níveis inicial e final, Z é o número atômico (carga nuclear em unidades de e) e R é a constante de Rydberg do sistema. Aqui:
  • \lambda é o comprimento de onda do fóton emitido/absorvido;
  • R tem unidades de comprimento inverso ( \mathrm{m}^{-1}).

Passo 3

Origem física da dependência em Z^{2} e expressão para R.
  • Pela teoria de Bohr (modo simples e suficiente para hidrogenoides), as energias dos níveis são
E_{n}=-\frac{Z^{2} \mu e^{4}}{8\varepsilon_{0}^{2} h^{2} n^{2}},
onde:
  • \mu é a massa reduzida do sistema elétron–núcleo, \mu=\dfrac{m_{e}M}{m_{e}+M} com m_{e} massa do elétron e M massa do núcleo;
  • e é a carga elementar;
  • \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo;
  • h é a constante de Planck;
  • n é o número quântico principal.
  • A diferença de energia entre dois níveis dá o fóton de frequência \nu com \Delta E = h\nu. Convertendo para número de onda \tilde{\nu} = 1/\lambda = \nu/c obtemos a forma
\frac{1}{\lambda}=R_{\infty}\left(\frac{\mu}{m_{e}}\right)Z^{2}\!\left(\frac{1}{n_{f}^{2}}-\frac{1}{n_{i}^{2}}\right),
onde R_{\infty} é a constante de Rydberg para massa de elétron fixa (constante de Rydberg no limite de núcleo de massa infinita):
R_{\infty}=\frac{m_{e} e^{4}}{8\varepsilon_{0}^{2} h^{3} c}.
  • Para um átomo real de hidrogênio usa-se R=R_{\infty}\,(\mu/m_{e}). Em geral, para um hidrogenoide com dado Z,
R = R_{\infty}\left(\frac{\mu}{m_{e}}\right)Z^{2}.

Passo 4

Simplificação adequada ao enunciado (por que podemos tomar \mu\approx m_{e}).
  • O enunciado não dá a massa do núcleo. Em muitos problemas deste tipo assume-se que o núcleo é muito mais pesado que o elétron (caso típico: M\gg m_{e}), então a massa reduzida \mu fica muito próxima de m_{e}:
\mu=\frac{m_{e}M}{m_{e}+M}\approx m_{e}\quad\text{se }M\gg m_{e}.
  • Com essa aproximação temos \mu/m_{e}\approx1 e, portanto,
R \approx R_{\infty}Z^{2}.
  • Outra forma prática é usar a constante de Rydberg experimental para o hidrogênio R_{\mathrm{H}} (que já incorpora a massa reduzida do núcleo de hidrogênio). Para núcleos muito pesados a diferença entre R_{\infty} e R_{\mathrm{H}} é pequena; adotaremos a aproximação usual e escreveremos R\approx Z^{2}R_{\mathrm{H}}. Como o enunciado não pede correção por massa do núcleo, essa é a hipótese natural.

Passo 5

Aplicando ao caso Z=40.
  • Temos Z=40, logo Z^{2}=40^{2}=1600.
  • Valor numérico da constante de Rydberg para o hidrogênio (valor comum usado):
R_{\mathrm{H}}\approx 1{,}0973731568508\times10^{7}\\ \mathrm{m}^{-1}.
  • Então, aproximando \mu\approx m_{e},
R \approx Z^{2}R_{\mathrm{H}}=1600\times 1{,}0973731568508\times10^{7}\\ \mathrm{m}^{-1}.

Passo 6

Cálculo numérico final.
  • Calcular o produto:
1600\times 1{,}0973731568508\times10^{7}=1{,}75579705096128\times10^{10}\\ \mathrm{m}^{-1}.
  • Arredondando para 4 algarismos significativos, por clareza:
R \approx 1{,}756\times10^{10}\\ \mathrm{m}^{-1}.

Resposta

1{,}756\times10^{10}\\ \mathrm{m}^{-1}

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