04- Um determinado átomo com comportamento hidrogenide possui a carga nuclear 40 vezes a carga do elétron. Dessa forma qual seria o valor da constante
de Rydberg.
Passo 1
O enunciado diz que temos um átomo hidrogenoide (ou seja, um único elétron ligado a um núcleo) cuja carga nuclear é 40 vezes a carga do elétron. Pergunta-se qual é o valor da constante de Rydberg
para esse átomo.
Informações dadas:
- carga nuclear igual a
vezes a carga do elétron, portanto ; - trata-se de átomo hidrogenoide (um elétron em torno de um núcleo de carga
); - não foi dada massa do núcleo.
O que é pedido:
- calcular o valor da constante de Rydberg
correspondente a esse átomo.
Passo 2
Breve explicação do que é a constante de Rydberg e como ela aparece nas linhas espectrais.
- Em átomos hidrogenoides, as transições entre níveis de energia produzem fótons com número de onda (inverso do comprimento de onda) dado por
onde
e
são números quânticos principais dos níveis inicial e final,
é o número atômico (carga nuclear em unidades de
) e
é a constante de Rydberg do sistema. Aqui:
-
é o comprimento de onda do fóton emitido/absorvido; -
tem unidades de comprimento inverso ( ).
Passo 3
Origem física da dependência em
e expressão para
.
- Pela teoria de Bohr (modo simples e suficiente para hidrogenoides), as energias dos níveis são
onde:
-
é a massa reduzida do sistema elétron–núcleo, com massa do elétron e massa do núcleo; -
é a carga elementar; -
é a permissividade do vácuo; -
é a constante de Planck; -
é o número quântico principal. - A diferença de energia entre dois níveis dá o fóton de frequência
com . Convertendo para número de onda obtemos a forma
onde
é a constante de Rydberg para massa de elétron fixa (constante de Rydberg no limite de núcleo de massa infinita):
- Para um átomo real de hidrogênio usa-se
. Em geral, para um hidrogenoide com dado ,
Passo 4
Simplificação adequada ao enunciado (por que podemos tomar
).
- O enunciado não dá a massa do núcleo. Em muitos problemas deste tipo assume-se que o núcleo é muito mais pesado que o elétron (caso típico:
), então a massa reduzida fica muito próxima de :
- Com essa aproximação temos
e, portanto,
- Outra forma prática é usar a constante de Rydberg experimental para o hidrogênio
(que já incorpora a massa reduzida do núcleo de hidrogênio). Para núcleos muito pesados a diferença entre e é pequena; adotaremos a aproximação usual e escreveremos . Como o enunciado não pede correção por massa do núcleo, essa é a hipótese natural.
Passo 5
Aplicando ao caso
.
- Temos
, logo . - Valor numérico da constante de Rydberg para o hidrogênio (valor comum usado):
- Então, aproximando
,
Passo 6
Cálculo numérico final.
- Calcular o produto:
- Arredondando para 4 algarismos significativos, por clareza: