Indique qual dos conjuntos de números quânticos de um átomo são inaceitáveis e explique:
(3, 2, 1, +1/2)

Passo 1

O enunciado pede que eu indique se o conjunto de números quânticos dado é aceitável para um elétron em um átomo e que eu explique por quê. O conjunto dado é (3,\,2,\,1,\,+\tfrac{1}{2}). Vou listar aqui, sem resolver ainda, os quatro valores que foram fornecidos:
  • valor 1: n=3,
  • valor 2: l=2,
  • valor 3: m_l=1,
  • valor 4: m_s=+\tfrac{1}{2}.

Passo 2

Definição e condição para o primeiro número quântico: o número quântico principal n.
  • O que é: n indica o “nível de energia” principal do elétron (um rótulo inteiro do orbital).
  • Condição permitida: n deve ser um inteiro positivo, isto é n\in\mathbb{N} e n\ge 1.
  • Verificação para o caso: dado n=3. Como 3 é inteiro e 3\ge 1, então n=3 satisfaz a condição. Logo n é válido.

Passo 3

Definição e condição para o segundo número quântico: o número quântico azimutal (orbital) l.
  • O que é: l determina a forma do orbital e está relacionado ao momento angular orbital; toma valores inteiros não negativos.
  • Condição permitida: para um dado n, l deve satisfazer
l=0,1,2,\dots,n-1.
Ou, em desigualdade,
0 \le l \le n-1, \qquad l\in\mathbb{Z}.
  • Verificação para o caso: com n=3 a lista de l permitidos é 0,1,2. O conjunto dá l=2, que está dentro dessa lista. Logo l=2 é válido.

Passo 4

Breve comentário físico e notação útil (para você lembrar na prova).
  • Para l=0,1,2,\dots costuma-se usar as letras s,p,d,f,\dots (então l=2 corresponde ao subshell d).
  • Observação importante: o fato de existir ou não elétrons ocupando um certo orbital no estado fundamental do átomo não altera a validade matemática do par (n,l). Ou seja, n=3,l=2 é um par permitido mesmo que, em muitos elementos, orbitais 3d só sejam ocupados em estados excitados ou em átomos com ordem específica de preenchimento.

Passo 5

Definição e condição para o terceiro número quântico: o número magnético m_l.
  • O que é: m_l indica a componente do momento angular orbital numa direção escolhida e determina a orientação do orbital.
  • Condição permitida: para dado l,
m_l\in\{-l,\,-l+1,\,\dots,\,0,\,\dots,\,l-1,\,l\},
ou seja, -l \le m_l \le +l e m_l é inteiro.
  • Verificação para o caso: com l=2 os valores possíveis são -2,-1,0,1,2. O conjunto dá m_l=1, que está entre esses valores. Portanto m_l=1 é válido.

Passo 6

Definição e condição para o quarto número quântico: o número de spin m_s.
  • O que é: m_s representa a projeção do spin do elétron; é um valor associado ao momento angular intrínseco do elétron.
  • Condição permitida: para elétron (partícula de spin 1/2), somente dois valores são permitidos:
m_s=+\tfrac{1}{2}\quad\text{ou}\quad m_s=-\tfrac{1}{2}.
  • Verificação para o caso: o conjunto dá m_s=+\tfrac{1}{2}, que é exatamente um dos valores permitidos. Logo m_s é válido.

Passo 7

Checagem final: todos os quatro números satisfazem simultaneamente as restrições:
  • n=3 satisfaz n\ge1;
  • l=2 satisfaz 0\le l\le n-1 porque 2\le 3-1=2;
  • m_l=1 satisfaz -l\le m_l\le +l pois -2\le 1\le 2;
  • m_s=+\tfrac{1}{2} é um valor permitido de spin.
    Logo o conjunto (3,\,2,\,1,\,+\tfrac{1}{2}) é aceitável.

Passo 8

Exemplos rápidos para treinar (coisa que costuma cair na prova):
  • Exemplo inválido 1: (2,\,2,\,0,\,+\tfrac{1}{2}). Aqui n=2 mas l=2 não é permitido porque para n=2 temos l=0 ou 1 (portanto inválido).
  • Exemplo inválido 2: (3,\,1,\,2,\,-\tfrac{1}{2}). Aqui l=1 mas m_l=2 é impossível porque para l=1 só existem m_l=-1,0,+1.
  • Exemplo válido: (4,\,0,\,0,\,-\tfrac{1}{2}) (um elétron no orbital 4s com spin para baixo).
Força aí — você já entende as condições e, na hora da prova, basta checar cada desigualdade uma a uma.

Resposta

O conjunto (3,2,1,+\frac{1}{2}) é aceitável.

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