04 Um termômetro defeituoso, graduado na escala Fahrenheit indica 30^{\circ} \mathrm{F} para a temperatura de fusão do gelo e 214^{\circ} \mathrm{F} para a temperatura de ebulição da água. Nesse termômetro, determine a única temperatura medida corretamente.

Passo 1

O enunciado dá um termômetro defeituoso e pede: determinar a única temperatura que ele mede corretamente (ou seja, a temperatura verdadeira é igual à indicada por esse termômetro).\n
Informações fornecidas:
  • Para a temperatura de fusão do gelo (temperatura verdadeira 32^\circ\mathrm{F}) o termômetro indica 30^\circ\mathrm{F}.\n
  • Para a temperatura de ebulição da água (temperatura verdadeira 212^\circ\mathrm{F}) o termômetro indica 214^\circ\mathrm{F}.\n
    A tarefa é achar a temperatura T tal que o valor indicado pelo termômetro seja exatamente T.

Passo 2

Modelo que vamos usar (explicação didática): um termômetro defeituoso, desde que a falha seja de calibração linear, relaciona a temperatura verdadeira com a indicada por uma função afim (linear com deslocamento). Isso significa que existe uma constante de escala a e um deslocamento b tais que, para qualquer temperatura verdadeira T_{\text{verd}}, a indicação T_{\text{ind}} obedece
T_{\text{ind}} = a\,T_{\text{verd}} + b.
Aqui:
  • T_{\text{verd}} é a temperatura real (em graus Fahrenheit),
  • T_{\text{ind}} é o número que o termômetro mostra,
  • a mede a diferença de “escala” (se a>1 a escala é esticada, se a<1 é comprimida),
  • b é um deslocamento absoluto (se b\neq0 há um desvio fixo).
Justificativa curta: duas medições conhecidas (dois pares temperatura verdadeira → indicação) permitem determinar unicamente a e b numa função afim.

Passo 3

Usando as duas condições do enunciado, escrevemos o sistema para a e b.
Para a fusão do gelo: T_{\text{verd}}=32^\circ\mathrm{F} e T_{\text{ind}}=30^\circ\mathrm{F}, então
30 = a\cdot 32 + b.
Para a ebulição da água: T_{\text{verd}}=212^\circ\mathrm{F} e T_{\text{ind}}=214^\circ\mathrm{F}, então
214 = a\cdot 212 + b.

Passo 4

Vamos subtrair a primeira equação da segunda para eliminar b e achar a.
Subtraindo:
214-30 = a(212-32) + (b-b).
Isso dá
184 = a\cdot 180.
Isolando a:
a = \frac{184}{180} = \frac{46}{45}.

Passo 5

Agora encontramos b usando uma das equações (uso a mais simples, a do gelo):
30 = a\cdot 32 + b.
Substituindo a=\dfrac{46}{45}:
30 = \frac{46}{45}\cdot 32 + b.
Calculando o produto (faço em frações para ficar exato):
\frac{46}{45}\cdot 32 = \frac{46\cdot 32}{45} = \frac{1472}{45}.
Logo
b = 30 - \frac{1472}{45} = \frac{30\cdot 45 - 1472}{45} = \frac{1350-1472}{45} = \frac{-122}{45}.

Passo 6

Definição do que queremos: temperatura medida corretamente satisfaz T_{\text{ind}} = T_{\text{verd}} = T. Usando o modelo,
T = aT + b.
Rearranjando:
(a-1)T + b = 0.
Se a\neq 1 (aqui não é, pois a=\dfrac{46}{45}), isolamos T:
T = -\frac{b}{a-1}.
Substituindo a=\dfrac{46}{45} e b=\dfrac{-122}{45}:
a-1 = \frac{46}{45}-1 = \frac{1}{45},
-\!b = -\!\left(\frac{-122}{45}\right)=\frac{122}{45}.
Portanto
T = \frac{\tfrac{122}{45}}{\tfrac{1}{45}} = 122.
Assim, a temperatura verdadeira que o termômetro indica corretamente é \,122^\circ\mathrm{F}.

Passo 7

Verificação rápida (para consolidar a intuição): com a=\dfrac{46}{45} e b=\dfrac{-122}{45},
a\cdot 122 + b = \frac{46}{45}\cdot 122 - \frac{122}{45} = \frac{122(46-1)}{45} = \frac{122\cdot 45}{45} = 122,
confirmando que a indicação coincide com a temperatura verdadeira. Como a equação afim tem no máximo um ponto fixo quando a\neq1, essa solução é única.

Resposta

122^\circ\mathrm{F}

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