04 Um termômetro defeituoso, graduado na escala Fahrenheit indica
para a temperatura de fusão do gelo e
para a temperatura de ebulição da água. Nesse termômetro, determine a única temperatura medida corretamente.
Passo 1
O enunciado dá um termômetro defeituoso e pede: determinar a única temperatura que ele mede corretamente (ou seja, a temperatura verdadeira é igual à indicada por esse termômetro).\n
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- Para a temperatura de fusão do gelo (temperatura verdadeira
) o termômetro indica .\n - Para a temperatura de ebulição da água (temperatura verdadeira
) o termômetro indica .\n
A tarefa é achar a temperaturatal que o valor indicado pelo termômetro seja exatamente .
Passo 2
Modelo que vamos usar (explicação didática): um termômetro defeituoso, desde que a falha seja de calibração linear, relaciona a temperatura verdadeira com a indicada por uma função afim (linear com deslocamento). Isso significa que existe uma constante de escala
e um deslocamento
tais que, para qualquer temperatura verdadeira
, a indicação
obedece
Aqui:
-
é a temperatura real (em graus Fahrenheit), -
é o número que o termômetro mostra, -
mede a diferença de “escala” (se a escala é esticada, se é comprimida), -
é um deslocamento absoluto (se há um desvio fixo).
Justificativa curta: duas medições conhecidas (dois pares temperatura verdadeira → indicação) permitem determinar unicamente
e
numa função afim.
Passo 3
Usando as duas condições do enunciado, escrevemos o sistema para
e
.
Para a fusão do gelo:
e
, então
Para a ebulição da água:
e
, então
Passo 4
Vamos subtrair a primeira equação da segunda para eliminar
e achar
.
Subtraindo:
Isso dá
Isolando
:
Passo 5
Agora encontramos
usando uma das equações (uso a mais simples, a do gelo):
Substituindo
:
Calculando o produto (faço em frações para ficar exato):
Logo
Passo 6
Definição do que queremos: temperatura medida corretamente satisfaz
. Usando o modelo,
Rearranjando:
Se
(aqui não é, pois
), isolamos
:
Substituindo
e
:
Portanto
Assim, a temperatura verdadeira que o termômetro indica corretamente é
.
Passo 7
Verificação rápida (para consolidar a intuição): com
e
,
confirmando que a indicação coincide com a temperatura verdadeira. Como a equação afim tem no máximo um ponto fixo quando
, essa solução é única.