06 Dois corpos A e B estavam inicialmente à mesma temperatura. Os dois corpos são, então, aquecidos de modo que a temperatura de A sofre um aumento de 1^{\circ} \mathrm{C} e a temperatura de B sofre um aumento de 1^{\circ} \mathrm{F}. No final, qual dos dois está mais quente?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta.
  • Informações dadas:
    • Os dois corpos A e B começam à mesma temperatura (mesma temperatura física).
    • O corpo A tem sua temperatura aumentada em 1^\circ\mathrm{C}.
    • O corpo B tem sua temperatura aumentada em 1^\circ\mathrm{F}.
  • Pergunta:
    • Ao final, qual dos dois corpos está mais quente?

Passo 2

Vamos definir uma variável para a temperatura inicial, em Celsius, para trabalhar com uma única escala e comparar direitinho.
  • Seja \theta a temperatura inicial comum, medida em ^\circ\mathrm{C}. Isso significa que o corpo A começa em \theta e o corpo B começa na mesma temperatura física, que em Celsius também é \theta.
Agora, eu preciso usar a relação entre as escalas Celsius e Fahrenheit. A fórmula de conversão é:
F = \frac{9}{5}C + 32,
onde C é a temperatura em ^\circ\mathrm{C} e F é a temperatura em ^\circ\mathrm{F}. Vou explicar rapidinho por que essa fórmula tem essa cara: as escalas têm zero e tamanhos de grau diferentes — um grau Celsius equivale a \tfrac{9}{5} graus Fahrenheit, e há um deslocamento de 32^\circ\mathrm{F} porque 0^\circ\mathrm{C} corresponde a 32^\circ\mathrm{F}.

Passo 3

Calcular a temperatura final do corpo A em Celsius é direto:
  • Inicialmente A está em \theta (em ^\circ\mathrm{C}).
  • Aumenta 1^\circ\mathrm{C}, então a temperatura final de A é
\theta_A = \theta + 1.

Passo 4

Agora calcular a temperatura final de B, expressa em Celsius, passo a passo.
  • Inicialmente, a temperatura de B em Fahrenheit é
F_0 = \frac{9}{5}\theta + 32,
pois convertemos \theta (°C) para °F com a fórmula de conversão.
  • Aumenta 1^\circ\mathrm{F}, então a nova temperatura em Fahrenheit é
F_B = F_0 + 1 = \frac{9}{5}\theta + 33.
  • Para comparar com A facilmente, convertemos F_B de volta para Celsius usando a inversa da fórmula. A inversa é
C = \frac{5}{9}(F - 32).
Aplicando em F_B:
\theta_B = \frac{5}{9}\bigl(F_B - 32\bigr) = \frac{5}{9}\Bigl(\frac{9}{5}\theta + 33 - 32\Bigr) = \frac{5}{9}\Bigl(\frac{9}{5}\theta + 1\Bigr).
Agora simplificamos cuidadosamente (eu mostro cada passo da álgebra para você poder repetir na prova):
\theta_B = \frac{5}{9}\cdot\frac{9}{5}\theta + \frac{5}{9}\cdot 1 = \theta + \frac{5}{9}.
Portanto a temperatura final do corpo B, expressa em ^\circ\mathrm{C}, é
\theta_B = \theta + \frac{5}{9}.
Observação didática: isso mostra que um aumento de 1^\circ\mathrm{F} equivale a um aumento de \tfrac{5}{9}^\circ\mathrm{C}, porque os tamanhos dos graus são diferentes.

Passo 5

Comparar as temperaturas finais dos dois corpos (ambas em Celsius) para saber qual ficou mais quente.
  • Temperatura final de A: \theta_A = \theta + 1.
  • Temperatura final de B: \theta_B = \theta + \dfrac{5}{9}.
Subtraindo para ver a diferença:
\theta_A - \theta_B = \bigl(\theta + 1\bigr) - \Bigl(\theta + \frac{5}{9}\Bigr) = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}.
Ou seja, A ficou mais quente que B em \dfrac{4}{9}^\circ\mathrm{C}, que é aproximadamente 0,444\ldots^\circ\mathrm{C}.
Se você preferir ver essa diferença em Fahrenheit, multiplica por \tfrac{9}{5}:
\frac{4}{9}\cdot\frac{9}{5} = \frac{4}{5} = 0,8,
logo A está 0,8^\circ\mathrm{F} mais quente que B.
Importante: repare que o valor inicial \theta cancelou — a conclusão não depende da temperatura inicial, desde que os dois comecem na mesma temperatura.

Passo 6

Interpretação final simples e prática para a prova: como um grau Celsius é maior que um grau Fahrenheit ( 1^\circ\mathrm{C}=1,8^\circ\mathrm{F}), aumentar 1^\circ\mathrm{C} é um aquecimento maior do que aumentar 1^\circ\mathrm{F}. Logo o corpo que recebeu 1^\circ\mathrm{C} fica mais quente.

Resposta

O corpo A está mais quente.
Diferença de temperatura: \dfrac{4}{9}^\circ\mathrm{C} (aprox. 0,444\ldots^\circ\mathrm{C}) = 0,8^\circ\mathrm{F}.

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