24 Uma esfera de aço ( \alpha_{\text {aço }}=12.10^{-6}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1}ç ) de raio " r " e uma esfera de alumínio ( \alpha_{\mathrm{AI}}=24.10^{-6}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1} ) de raio " R " são rodeadas por um anel de cobre ( \alpha_{\mathrm{Cu}}=16.10^{-6} \mathrm{C}^{-1} ). Se quando aquecermos ou resfriarmos o conjunto, o anel não perder sua forma esférica, encontre \mathrm{R} / \mathrm{r}.

Passo 1

O enunciado dá duas esferas e um anel circular envolvendo-as. Vou listar exatamente o que foi dado e o que é pedido:
  • Dados:
    • Esfera de aço com coeficiente de dilatação linear \alpha_{\text{aço}} = 12\cdot10^{-6}\,^\circ\mathrm{C}^{-1}ç e raio \;r.
    • Esfera de alumínio com coeficiente de dilatação linear \alpha_{\mathrm{Al}} = 24\cdot10^{-6}\,^\circ\mathrm{C}^{-1} e raio \;R.
    • Um anel de cobre com coeficiente de dilatação linear \alpha_{\mathrm{Cu}} = 16\cdot10^{-6}\,^\circ\mathrm{C}^{-1} rodeia as duas esferas.
  • Observação da imagem (usei a figura enviada): as duas esferas estão encostadas uma na outra (tangentes) e o anel é um círculo que as envolve, tocando-as internamente. Eu peguei da imagem que as tangências são: cada esfera é interna ao anel e tangente a ele, e as duas esferas são tangentes entre si.
  • Pedido: determinar a razão \;R/r de modo que, ao aquecer ou resfriar o conjunto, o anel de cobre não perca sua forma esférica (isto é, permaneça circular) enquanto continua tocando as esferas — em outras palavras, as novas dimensões após variação de temperatura devem manter as tangências.

Passo 2

Entendendo a geometria e escrevendo as relações geométricas iniciais (antes de qualquer dilatação):
  • Seja S o raio do anel (o círculo que envolve as esferas) no estado inicial.
  • Pela figura, a distância entre os centros das duas esferas é exatamente \;r+R (porque elas são tangentes).
  • A esfera menor (raio r) tem o seu centro a uma distância d_1 do centro do anel e a esfera maior (raio R) tem o seu centro a uma distância d_2 do centro do anel.
  • Como cada esfera é tangente internamente ao anel, vale: S = d_1 + r \quad\text{e}\quad S = d_2 + R.
  • Somando as duas equações e lembrando que d_1 + d_2 = r + R (distância entre centros das esferas), obtemos: 2S = (d_1 + d_2) + (r+R) = (r+R) + (r+R) = 2(r+R),portanto S = r + R.Ou seja: geometricamente (e isto veio da observação da imagem), o raio do anel é igual à soma dos dois raios.

Passo 3

Relembrando a lei da dilatação linear (aula rápida e prática):
  • Quando uma dimensão linear L de um corpo sofre uma variação de temperatura \Delta T, a nova dimensão L' é dada por L' = L\,(1 + \alpha\,\Delta T),onde \alpha é o coeficiente de dilatação linear da substância.
  • Aplicando isso a raios: o raio do anel (cobre) muda para S' = S(1+\alpha_{\mathrm{Cu}}\Delta T), o raio da esfera de aço para r' = r(1+\alpha_{\text{aço}}\Delta T)ç e o da esfera de alumínio para R' = R(1+\alpha_{\mathrm{Al}}\Delta T).
  • Observação importante: essa fórmula é exata para dilatação linear (é multiplicativa), então podemos usá-la diretamente sem aproximações de ordem superior.

Passo 4

Impondo a condição física pedida (manter forma circular do anel e as tangências):
  • Para que o anel continue circular e tangencie internamente as duas esferas após a variação de temperatura, deve valer, no novo estado, S' = r' + R'.
  • Substituindo as expressões de dilatação: S(1+\alpha_{\mathrm{Cu}}\Delta T) = r(1+\alpha_{\text{aço}}\Delta T) + R(1+\alpha_{\mathrm{Al}}\Delta T).ç
  • Mas de antes sabemos que S = r + R. Substituímos S e expandimos: (r+R)(1+\alpha_{\mathrm{Cu}}\Delta T) = r(1+\alpha_{\text{aço}}\Delta T) + R(1+\alpha_{\mathrm{Al}}\Delta T).ç
  • Cancelamos os termos comuns (r+R) do lado base e simplificamos, passando os termos proporcionais a \Delta T: (r+R)\alpha_{\mathrm{Cu}} = r\alpha_{\text{aço}} + R\alpha_{\mathrm{Al}}.ç

Passo 5

Algebrizando para achar \;R/r:
  • Reescrevendo a equação: r\alpha_{\mathrm{Cu}} + R\alpha_{\mathrm{Cu}} = r\alpha_{\text{aço}} + R\alpha_{\mathrm{Al}}.ç
  • Agrupando termos em r e em R: r(\alpha_{\mathrm{Cu}} - \alpha_{\text{aço}}) = R(\alpha_{\mathrm{Al}} - \alpha_{\mathrm{Cu}}).ç
  • Portanto \frac{R}{r} = \frac{\alpha_{\mathrm{Cu}} - \alpha_{\text{aço}}}{\alpha_{\mathrm{Al}} - \alpha_{\mathrm{Cu}}}.ç

Passo 6

Substituindo os valores numéricos dados:
  • \alpha_{\text{aço}} = 12\cdot10^{-6}\,^\circ\mathrm{C}^{-1}ç,
    \alpha_{\mathrm{Al}} = 24\cdot10^{-6}\,^\circ\mathrm{C}^{-1},
    \alpha_{\mathrm{Cu}} = 16\cdot10^{-6}\,^\circ\mathrm{C}^{-1}.
  • Calculamos o numerador e denominador (os fatores 10^{-6} cancelam na razão): \alpha_{\mathrm{Cu}} - \alpha_{\text{aço}} = 16 - 12 = 4,ç
\alpha_{\mathrm{Al}} - \alpha_{\mathrm{Cu}} = 24 - 16 = 8.
  • Assim \frac{R}{r} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}.

Resposta

\dfrac{R}{r}=\dfrac{1}{2}

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