24 Uma esfera de aço (
) de raio " r " e uma esfera de alumínio (
) de raio " R " são rodeadas por um anel de cobre (
). Se quando aquecermos ou resfriarmos o conjunto, o anel não perder sua forma esférica, encontre
.
Passo 1
O enunciado dá duas esferas e um anel circular envolvendo-as. Vou listar exatamente o que foi dado e o que é pedido:
- Dados:
- Esfera de aço com coeficiente de dilatação linear
e raio . - Esfera de alumínio com coeficiente de dilatação linear
e raio . - Um anel de cobre com coeficiente de dilatação linear
rodeia as duas esferas.
- Esfera de aço com coeficiente de dilatação linear
- Observação da imagem (usei a figura enviada): as duas esferas estão encostadas uma na outra (tangentes) e o anel é um círculo que as envolve, tocando-as internamente. Eu peguei da imagem que as tangências são: cada esfera é interna ao anel e tangente a ele, e as duas esferas são tangentes entre si.
- Pedido: determinar a razão
de modo que, ao aquecer ou resfriar o conjunto, o anel de cobre não perca sua forma esférica (isto é, permaneça circular) enquanto continua tocando as esferas — em outras palavras, as novas dimensões após variação de temperatura devem manter as tangências.
Passo 2
Entendendo a geometria e escrevendo as relações geométricas iniciais (antes de qualquer dilatação):
- Seja
o raio do anel (o círculo que envolve as esferas) no estado inicial. - Pela figura, a distância entre os centros das duas esferas é exatamente
(porque elas são tangentes). - A esfera menor (raio
) tem o seu centro a uma distância do centro do anel e a esfera maior (raio ) tem o seu centro a uma distância do centro do anel. - Como cada esfera é tangente internamente ao anel, vale:
- Somando as duas equações e lembrando que
(distância entre centros das esferas), obtemos: portanto Ou seja: geometricamente (e isto veio da observação da imagem), o raio do anel é igual à soma dos dois raios.
Passo 3
Relembrando a lei da dilatação linear (aula rápida e prática):
- Quando uma dimensão linear
de um corpo sofre uma variação de temperatura , a nova dimensão é dada por onde é o coeficiente de dilatação linear da substância. - Aplicando isso a raios: o raio do anel (cobre) muda para
, o raio da esfera de aço para e o da esfera de alumínio para . - Observação importante: essa fórmula é exata para dilatação linear (é multiplicativa), então podemos usá-la diretamente sem aproximações de ordem superior.
Passo 4
Impondo a condição física pedida (manter forma circular do anel e as tangências):
- Para que o anel continue circular e tangencie internamente as duas esferas após a variação de temperatura, deve valer, no novo estado,
- Substituindo as expressões de dilatação:
- Mas de antes sabemos que
. Substituímos e expandimos: - Cancelamos os termos comuns
do lado base e simplificamos, passando os termos proporcionais a :
Passo 5
Algebrizando para achar
:
- Reescrevendo a equação:
- Agrupando termos em
e em : - Portanto
Passo 6
Substituindo os valores numéricos dados:
-
,
,
. - Calculamos o numerador e denominador (os fatores
cancelam na razão):
- Assim