05 - O pêndulo consiste em um disco uniforme de 10 kg e uma haste delgada uniforme de, 3 kg . Se for liberado do repouso na posição mostrado, determine sua velocidade angular quando ele gira 90^{\circ} no sentido horário.

Passo 1

O enunciado diz que o pêndulo é formado por um disco uniforme de massa 10\\ \text{kg} e por uma haste delgada uniforme de massa 3\\ \text{kg}. Pede-se a velocidade angular quando ele gira 90^\circ no sentido horário, liberado do repouso na posição mostrada.
Informações fornecidas:
  • M=10\\ \text{kg} (massa do disco).
  • m=3\\ \text{kg} (massa da haste).
  • O pêndulo é liberado do repouso e sofre uma rotação de 90^\circ.
O que está faltando e que é necessário para obter um valor numérico:
  • o comprimento da haste (vou chamar de L);
  • a posição do centro do disco em relação ao pivô (normalmente é no fim da haste, a uma distância L do pivô — preciso confirmar isso);
  • o raio do disco (vou chamar de R);
  • a figura que mostra a configuração inicial (se a haste começa horizontal, inclinada, etc.). Sem essa informação não há como calcular numericamente a velocidade angular.
Portanto: não é possível fornecer um valor numérico final sem essas dimensões. Vou, no entanto, explicar passo a passo o método correto e derivar a fórmula geral para o caso usual em que o disco está preso na extremidade da haste (centro do disco a uma distância L do pivô) e a posição inicial é a haste horizontal (de onde gira 90^\circ até a vertical para baixo). Se a configuração for diferente, basta fornecer a figura ou as distâncias e eu repito os cálculos.

Passo 2

Princípio físico a usar — Conservação de energia mecânica (sem atrito/sem perda):
\text{energia potencial perdida} = \text{energia cinética rotacional adquirida}.é
Escrevendo isso:
\Delta U = K_{\text{rot}}.
Aqui:
  • \Delta U é a diminuição da energia potencial gravitacional do sistema (rod + disco) entre a posição inicial e a posição final;
  • K_{\text{rot}} = \tfrac{1}{2} I_{\text{total}} \,\omega^{2} é a energia cinética rotacional final, com I_{\text{total}} momento de inércia total do sistema em relação ao pivô e \omega a velocidade angular procurada.
Então a equação fundamental que vamos usar é
\tfrac{1}{2} I_{\text{total}} \,\omega^{2} = \Delta U \quad\Rightarrow\quad \omega = \sqrt{\dfrac{2\,\Delta U}{I_{\text{total}}}}.

Passo 3

Momento de inércia total I_{\text{total}} (no caso usual: haste de comprimento L com uma extremidade articulada no pivô, e o disco com centro a distância L do pivô).
  1. Haste delgada uniforme, eixo no extremo:
I_{\text{haste}} = \tfrac{1}{3}\,m\,L^{2},
onde m é a massa da haste e L seu comprimento. Explicação: para uma haste fina homogênea girando em torno de uma extremidade, a fórmula padrão é I=\tfrac{1}{3}mL^{2}. Cada símbolo: I momento de inércia, m massa total da haste, L comprimento.
  1. Disco uniforme: momento de inércia em torno de seu centro
I_{\text{disk,cm}} = \tfrac{1}{2}\,M\,R^{2},
onde M é a massa do disco e R seu raio. Mas o pivô não passa pelo centro do disco; o centro do disco está a distância d do pivô. No caso usual d=L. Pelo teorema dos eixos paralelos (Teorema de Steiner):
I_{\text{disk,pivô}} = I_{\text{disk,cm}} + M d^{2} = \tfrac{1}{2}M R^{2} + M d^{2}.ô
Portanto, somando,
I_{\text{total}} = I_{\text{haste}} + I_{\text{disk,pivô}} = \tfrac{1}{3}mL^{2} + \tfrac{1}{2}M R^{2} + M d^{2}.ô
Se o centro do disco estiver na extremidade da haste, então d=L, e
I_{\text{total}} = \tfrac{1}{3}mL^{2} + M L^{2} + \tfrac{1}{2}M R^{2} = \biggl(\tfrac{1}{3}m + M\biggr)L^{2} + \tfrac{1}{2}M R^{2}.

Passo 4

Cálculo da variação de energia potencial \Delta U (assumindo a configuração usual: haste inicialmente horizontal e depois vertical para baixo — isto é, a haste cai 90^\circ). Vou tomar como referência de energia potencial a posição final (vertical para baixo), assim a perda de energia é igual ao ganho de energia cinética.
Alturas dos centros de massa:
  • Haste: centro de massa no meio da haste, a distância do pivô é L/2. Inicialmente (haste horizontal) o centro da haste está no mesmo nível vertical do pivô (altura y_{\text{haste,i}}=0). Na posição final (vertical para baixo) o centro está a uma distância L/2 abaixo do pivô (altura y_{\text{haste,f}}=-L/2). Logo a queda vertical do centro da haste é L/2.
  • Disco: o centro do disco, estando na extremidade da haste a distância L do pivô, inicialmente (haste horizontal) tem altura y_{\text{disk,i}}=0; na posição final (vertical para baixo) o centro está a L abaixo do pivô (altura y_{\text{disk,f}}=-L). Logo a queda vertical do centro do disco é L.
Variação total de energia potencial (perda) é:
\Delta U = m g\left(\tfrac{L}{2}\right) + M g (L) = g L \left(M + \tfrac{m}{2}\right).
Aqui g é a aceleração da gravidade ( g\approx 9{,}81\\ \text{m/s}^2).
Comentário didático: a ideia é somar a perda de energia potencial de cada corpo (massa × g × queda de altura). Nota: se a posição inicial for diferente da horizontal, ajustar as alturas iniciais conforme o ângulo inicial; a fórmula geral para uma queda de ângulo pode ser obtida com termos \cos (posso mostrar se for necessário).

Passo 5

Substituir \Delta U e I_{\text{total}} na equação da conservação de energia e isolar \omega.
Usando as expressões acima (com d=L e masses M=10\\ \text{kg}, m=3\\ \text{kg}):
\tfrac{1}{2}I_{\text{total}}\,\omega^{2} = g L \left(M + \tfrac{m}{2}\right).
Logo
\omega = \sqrt{\dfrac{2gL\left(M+\tfrac{m}{2}\right)}{I_{\text{total}}}}.
Substituindo I_{\text{total}} = \bigl(\tfrac{1}{3}m + M\bigr)L^{2} + \tfrac{1}{2}M R^{2} e M=10, m=3:
\omega = \sqrt{\dfrac{2 g L \left(10 + \tfrac{3}{2}\right)}{\bigl(\tfrac{1}{3}\cdot 3 + 10\bigr)L^{2} + \tfrac{1}{2}\cdot 10\,R^{2}}} = \sqrt{\dfrac{2 g L \cdot 11{,}5}{11 L^{2} + 5 R^{2}}}.
Multiplicando o numerador:
2\cdot 11{,}5 = 23,
ficando uma forma simplificada conveniente:
\boxed{\; \omega = \sqrt{\dfrac{23\,g\,L}{11\,L^{2} + 5\,R^{2}}} \;},
válida para o caso em que o disco está preso na extremidade da haste (centro do disco a distância L do pivô) e a haste parte horizontal. Explicação: cada termo no denominador representa contribuição ao momento de inércia — 11 L^{2} vem das massas concentradas a distâncias L e L/2 (com os coeficientes numéricos que aparecem após substituir as massas) e 5 R^{2} é a contribuição do momento de inércia do próprio disco em torno de seu centro multiplicada por M.

Passo 6

Conclusão prática e o que falta para um número final:
  • Se o enunciado do seu exercício realmente corresponde ao caso que assumi (disco na extremidade da haste, haste inicialmente horizontal), a expressão acima dá \omega em função de L e R. Para obter um número é preciso fornecer os valores de L e R.
  • Se a figura for diferente (por exemplo centro do disco a outra distância do pivô, ou a posição inicial não for horizontal), então a expressão para \Delta U muda (entra \cos do ângulo inicial) e eu preciso da figura/valores para ajustar o cálculo.
Fico animado: se você me enviar a figura ou indicar o comprimento da haste L e o raio do disco R (ou confirmar que o disco está na extremidade e que a posição inicial é horizontal), eu calculo o valor numérico de \omega passo a passo e já deixo pronto para a prova!

Resposta

Não é possível determinar numericamente a velocidade angular porque o enunciado não fornece as dimensões (comprimento da haste L e raio do disco R) nem a figura. Para a configuração usual (disco com centro na extremidade da haste a L do pivô, haste inicialmente horizontal), a velocidade angular após girar 90^\circ é
\omega = \sqrt{\dfrac{23\,g\,L}{11\,L^{2} + 5\,R^{2}}}.

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