Calcule a integral dupla
, onde
.
.
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado pede e o que é dado.
- Pede-se calcular a integral dupla
. - A região
é o retângulo . Ou seja: -
varia de a , -
varia de a .
-
- A função integranda é
.
O enunciado pede o valor numérico dessa integral dupla sobre o retângulo
. Não há imagens faltando nem dados ambíguos.
Passo 2
Explicar por que podemos separar a integral e como faremos.
- A função
é produto de uma função que depende só de , , e de uma que depende só de , . - Como a função é contínua no retângulo
, pelo Teorema de Fubini a integral dupla pode ser calculada por uma integral iterada. Além disso, para um produto de funções separadas em um retângulo vale - Portanto basta calcular as duas integrais simples
e multiplicá-las: .
Passo 3
Calcular
, explicando a identidade usada.
- É conveniente usar a identidade de redução para
: Essa identidade vem da fórmula do cosseno da soma: , rearranjando obtém-se a expressão acima. - Substituindo na integral:
- Calcule cada parte:
- Portanto
Passo 4
Calcular
usando substituição e a primitiva conhecida.
- Conhecimento útil:
. - Faça a substituição
. Então , logo . - Mudança de limites: quando
tem ; quando tem . - Substituindo na integral:
- Usando a primitiva do arctan:
Passo 5
Multiplicar os resultados e concluir.
- Temos
e . - Portanto a integral dupla é
- Resultado final:
. Parabéns — a integral separou direitinho e ficou simples de calcular!