Calcule a integral dupla \iint_{R} \frac{\sin ^{2} x}{1+4 y^{2}} d A, onde
\mathrm{R}=[0, \pi / 2] \times[0,1 / 2]. \mathrm{R}=[0, \pi / 2] \times[0,1 / 2].
\begin{aligned} & \iint_{R} \frac{\sin ^{2} x}{1+4 y^{2}} d A=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{\sin ^{2} x}{1+4 y^{2}} d y d x \\ = & \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{2} x d x \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{1+4 y^{2}} d y=\left[\frac{x}{2}-\frac{1}{4} \sin 2 x\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left[\frac{1}{2} \arctan 2 y\right]_{0}^{\frac{1}{2}} \\ & \begin{array}{c} \mathrm{u}=\mathrm{y} \\ \mathrm{du}=2 \mathrm{dy} \end{array} \\ = & \left(\frac{\pi}{4}\right)\left(\frac{1}{2} \arctan 1-\frac{1}{2} \arctan 0\right)=\left(\frac{\pi}{4}\right)\left(\frac{1}{2} \frac{\pi}{4}\right)=\frac{\pi^{2}}{32} \end{aligned}

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado pede e o que é dado.
  • Pede-se calcular a integral dupla \iint_{R} \dfrac{\sin^{2} x}{1+4y^{2}}\,dA.
  • A região R é o retângulo [0,\tfrac{\pi}{2}]\times[0,\tfrac{1}{2}]. Ou seja:
    • x varia de 0 a \tfrac{\pi}{2},
    • y varia de 0 a \tfrac{1}{2}.
  • A função integranda é \dfrac{\sin^{2} x}{1+4y^{2}}.
O enunciado pede o valor numérico dessa integral dupla sobre o retângulo R. Não há imagens faltando nem dados ambíguos.

Passo 2

Explicar por que podemos separar a integral e como faremos.
  • A função \dfrac{\sin^{2} x}{1+4y^{2}} é produto de uma função que depende só de x, f(x)=\sin^{2}x, e de uma que depende só de y, g(y)=\dfrac{1}{1+4y^{2}}.
  • Como a função é contínua no retângulo R, pelo Teorema de Fubini a integral dupla pode ser calculada por uma integral iterada. Além disso, para um produto de funções separadas em um retângulo vale \iint_{R} f(x)g(y)\,dA=\left(\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} f(x)\,dx\right)\left(\int_{0}^{\tfrac{1}{2}} g(y)\,dy\right).
  • Portanto basta calcular as duas integrais simples I_x=\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} \sin^{2}x\,dx, \qquad I_y=\int_{0}^{\tfrac{1}{2}} \frac{1}{1+4y^{2}}\,dy,e multiplicá-las: \iint_R = I_x\cdot I_y.

Passo 3

Calcular I_x=\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} \sin^{2}x\,dx, explicando a identidade usada.
  • É conveniente usar a identidade de redução para \sin^{2}x: \sin^{2}x = \frac{1-\cos 2x}{2}.Essa identidade vem da fórmula do cosseno da soma: \cos 2x = 1-2\sin^{2}x, rearranjando obtém-se a expressão acima.
  • Substituindo na integral: I_x=\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} \frac{1-\cos 2x}{2}\,dx =\frac{1}{2}\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} 1\,dx - \frac{1}{2}\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} \cos 2x\,dx.
  • Calcule cada parte: \frac{1}{2}\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} 1\,dx = \frac{1}{2}\left[x\right]_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{4}.
\frac{1}{2}\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} \cos 2x\,dx =\frac{1}{2}\left[\frac{\sin 2x}{2}\right]_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} =\frac{1}{4}\big(\sin(\pi)-\sin 0\big)=\frac{1}{4}(0-0)=0.
  • Portanto I_x=\frac{\pi}{4}.

Passo 4

Calcular I_y=\int_{0}^{\tfrac{1}{2}} \dfrac{1}{1+4y^{2}}\,dy usando substituição e a primitiva conhecida.
  • Conhecimento útil: \displaystyle \int \frac{1}{1+u^{2}}\,du=\arctan u + C.
  • Faça a substituição u=2y. Então du=2\,dy, logo dy=\dfrac{du}{2}.
  • Mudança de limites: quando y=0 tem u=0; quando y=\tfrac{1}{2} tem u=1.
  • Substituindo na integral: I_y=\int_{0}^{\tfrac{1}{2}} \frac{1}{1+4y^{2}}\,dy =\int_{0}^{1} \frac{1}{1+u^{2}}\cdot\frac{1}{2}\,du =\frac{1}{2}\int_{0}^{1} \frac{1}{1+u^{2}}\,du.
  • Usando a primitiva do arctan: I_y=\frac{1}{2}\left[\arctan u\right]_{0}^{1} =\frac{1}{2}\big(\arctan 1-\arctan 0\big) =\frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{4}-0\right)=\frac{\pi}{8}.

Passo 5

Multiplicar os resultados e concluir.
  • Temos I_x=\dfrac{\pi}{4} e I_y=\dfrac{\pi}{8}.
  • Portanto a integral dupla é \iint_{R} \frac{\sin^{2}x}{1+4y^{2}}\,dA = I_x\cdot I_y = \frac{\pi}{4}\cdot\frac{\pi}{8}=\frac{\pi^{2}}{32}.
  • Resultado final: \dfrac{\pi^{2}}{32}. Parabéns — a integral separou direitinho e ficou simples de calcular!

Resposta

\dfrac{\pi^{2}}{32}

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