Seja
, calcule:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
no retângulo
. As informações relevantes são:
- A região de integração é o produto de intervalos
e . - A função a integrar é
.
A única pergunta é o valor numérico da integral dupla acima.
Passo 2
Estratégia escolhida: usar integração iterada (integrar em uma variável mantendo a outra fixa) e aproveitar propriedades trigonométricas. Justificativa curta: a função
é contínua em
, então a integral dupla pode ser calculada como integral iterada (ou seja, podemos integrar primeiro em
e depois em
, ou vice-versa). Vou integrar primeiro em
porque a primitiva de
em relação a
é direta e a periodicidade vai simplificar.
Lembrete rápido de cálculo que vou usar:
- Ao integrar em
, é tratado como constante. - A primitiva de
em é . - A função
é -periódica, ou seja .
Passo 3
Calcular a integral interna em
:
Fazendo a integração em
(com
fixo) e usando a primitiva
:
Usando a periodicidade de
,
. Assim
Portanto a integral interna vale
para todo
.
Passo 4
Agora integrar o resultado em
:
Passo 5
Verificação alternativa (opcional, para fixar a ideia): integrar primeiro em
.
Calcule
Calcule
Como
, isso dá
Agora integrar em
:
Chega-se ao mesmo resultado
. Isso reforça que a integral é zero porque a função oscila e sua média sobre um período completo é zero.