Seja \mathrm{R}=\underset{\mathrm{x}}{[0, \pi]} \times \underset{\mathrm{y}}{[0,2 \pi]}, calcule: \iint_{R} \sin (x+y) d A
f(x, y)=\operatorname{sen}(x+y)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} \sin(x+y)\,dA
no retângulo R = [0,\pi]\times[0,2\pi]. As informações relevantes são:
  • A região de integração é o produto de intervalos x\in[0,\pi] e y\in[0,2\pi].
  • A função a integrar é f(x,y)=\sin(x+y).
    A única pergunta é o valor numérico da integral dupla acima.

Passo 2

Estratégia escolhida: usar integração iterada (integrar em uma variável mantendo a outra fixa) e aproveitar propriedades trigonométricas. Justificativa curta: a função f(x,y)=\sin(x+y) é contínua em R, então a integral dupla pode ser calculada como integral iterada (ou seja, podemos integrar primeiro em y e depois em x, ou vice-versa). Vou integrar primeiro em y porque a primitiva de \sin(x+y) em relação a y é direta e a periodicidade vai simplificar.
Lembrete rápido de cálculo que vou usar:
  • Ao integrar em y, x é tratado como constante.
  • A primitiva de \sin(u) em u é -\cos(u).
  • A função \cos é 2\pi-periódica, ou seja \cos(t+2\pi)=\cos(t).

Passo 3

Calcular a integral interna em y:
\int_{0}^{2\pi} \sin(x+y)\,dy.
Fazendo a integração em y (com x fixo) e usando a primitiva -\cos(x+y):
\int_{0}^{2\pi} \sin(x+y)\,dy = \big[-\cos(x+y)\big]_{y=0}^{y=2\pi} = -\cos(x+2\pi)+\cos(x+0).
Usando a periodicidade de \cos, \cos(x+2\pi)=\cos(x). Assim
-\cos(x+2\pi)+\cos(x)= -\cos(x)+\cos(x)=0.
Portanto a integral interna vale 0 para todo x\in[0,\pi].

Passo 4

Agora integrar o resultado em x:
\iint_{R}\sin(x+y)\,dA = \int_{0}^{\pi}\left(\int_{0}^{2\pi}\sin(x+y)\,dy\right)dx = \int_{0}^{\pi} 0\,dx = 0.

Passo 5

Verificação alternativa (opcional, para fixar a ideia): integrar primeiro em x.
Calcule
\int_{0}^{\pi}\sin(x+y)\,dx = \big[-\cos(x+y)\big]_{x=0}^{x=\pi} = -\cos(\pi+y)+\cos(y).
Como \cos(\pi+y)=-\cos(y), isso dá
-\big(-\cos(y)\big)+\cos(y)=\cos(y)+\cos(y)=2\cos(y).
Agora integrar em y:
\int_{0}^{2\pi}2\cos(y)\,dy = 2\big[\sin(y)\big]_{0}^{2\pi} = 2(\sin(2\pi)-\sin(0))=0.
Chega-se ao mesmo resultado 0. Isso reforça que a integral é zero porque a função oscila e sua média sobre um período completo é zero.

Resposta

0

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