- (05 pontos) Prove que o valor abaixo não é um número racional.
a)
Danielly, Manoela
a)
Passo 1
O enunciado pede: provar que o número
(ou seja
) não é um número racional.
Informações dadas: o número em questão é .
O objetivo: demonstrar que não existe uma fração de inteiros (com
) que seja igual a
.
Informações dadas: o número em questão é
O objetivo: demonstrar que não existe uma fração de inteiros
Passo 2
Vou explicar o método que vou usar (sem resolver ainda): prova por contradição. Isso significa assumir o contrário do que se quer provar e derivar uma contradição lógica. Se conseguir uma contradição, a suposição inicial é falsa e, portanto, a afirmação desejada é verdadeira.
Passo 3
Definição importante e passo inicial da contradição: um número é racional se pode ser escrito como uma fração de dois inteiros. Então suponho, para buscar contradição, que
é racional. Logo existe uma fração
tal que
onde
e
são inteiros,
, e a fração está em sua forma irredutível (isto é,
e
não têm nenhum divisor comum além de
; em termos técnicos,
). É sempre possível escrever uma fração racional nessa forma reduzida.
Passo 4
Agora vamos manipular a igualdade. Elevando ambos os lados ao quadrado, obtemos
Multiplicando por
, isso vira
Essa igualdade diz que
é múltiplo de
(porque é igual a
vezes um inteiro).
Passo 5
Lema útil (e fácil de entender): se
divide
, então
divide
. Vou provar esse lema de maneira direta, sem falar de teoremas avançados.
Considere os possíveis restos de divisão de um inteiro por
. Um inteiro
pode ter resto
,
ou
ao dividir por
. Agora veja o que acontece com o quadrado desses restos:
- Se
, então . - Se
, então (porque ). - Se
, então .
Portanto, todo quadrado inteiro é congruente a
ou
módulo
. Em particular, para que
seja verdade é necessário que
. Ou seja, se
divide
então
divide
. Aplicando isso a
: como
divide
, concluímos que
divide
.
Passo 6
Da conclusão do passo anterior, existe um inteiro
tal que
Substituindo isso em
, temos
Dividindo ambos os lados por
, obtemos
Isso mostra que
também é múltiplo de
. Usando de novo o lema do passo 5, se
divide
então
divide
. Logo
também é múltiplo de
.
Passo 7
Chegamos a uma contradição com a hipótese de partida. Inicialmente assumimos que a fração
estava em forma irredutível, isto é, que
e portanto
e
não têm um divisor comum maior que
. Mas deduzimos que tanto
quanto
são divisíveis por
, o que significa que eles têm pelo menos o divisor comum
. Isso contradiz a condição de que a fração estava reduzida.
Passo 8
Como a suposição inicial (de que
é racional) levou a uma contradição lógica, essa suposição é falsa. Portanto
não é racional.