1. (05 pontos) Prove que o valor abaixo não é um número racional.
    a) \sqrt[2]{3} Danielly, Manoela

Passo 1

O enunciado pede: provar que o número \sqrt[2]{3} (ou seja \sqrt{3}) não é um número racional.
Informações dadas: o número em questão é \sqrt{3}.
O objetivo: demonstrar que não existe uma fração de inteiros \dfrac{p}{q} (com q\neq0) que seja igual a \sqrt{3}.

Passo 2

Vou explicar o método que vou usar (sem resolver ainda): prova por contradição. Isso significa assumir o contrário do que se quer provar e derivar uma contradição lógica. Se conseguir uma contradição, a suposição inicial é falsa e, portanto, a afirmação desejada é verdadeira.

Passo 3

Definição importante e passo inicial da contradição: um número é racional se pode ser escrito como uma fração de dois inteiros. Então suponho, para buscar contradição, que \sqrt{3} é racional. Logo existe uma fração \dfrac{p}{q} tal que
\sqrt{3}=\frac{p}{q},
onde p e q são inteiros, q\neq0, e a fração está em sua forma irredutível (isto é, p e q não têm nenhum divisor comum além de 1; em termos técnicos, \gcd(p,q)=1). É sempre possível escrever uma fração racional nessa forma reduzida.

Passo 4

Agora vamos manipular a igualdade. Elevando ambos os lados ao quadrado, obtemos
3=\frac{p^{2}}{q^{2}}.
Multiplicando por q^{2}, isso vira
3q^{2}=p^{2}.
Essa igualdade diz que p^{2} é múltiplo de 3 (porque é igual a 3 vezes um inteiro).

Passo 5

Lema útil (e fácil de entender): se 3 divide p^{2}, então 3 divide p. Vou provar esse lema de maneira direta, sem falar de teoremas avançados.
Considere os possíveis restos de divisão de um inteiro por 3. Um inteiro n pode ter resto 0, 1 ou 2 ao dividir por 3. Agora veja o que acontece com o quadrado desses restos:
  • Se n\equiv0\pmod{3}, então n^{2}\equiv0\pmod{3}.
  • Se n\equiv1\pmod{3}, então n^{2}\equiv1\pmod{3} (porque 1^{2}=1).
  • Se n\equiv2\pmod{3}, então n^{2}\equiv4\equiv1\pmod{3}.
Portanto, todo quadrado inteiro é congruente a 0 ou 1 módulo 3. Em particular, para que n^{2}\equiv0\pmod{3} seja verdade é necessário que n\equiv0\pmod{3}. Ou seja, se 3 divide n^{2} então 3 divide n. Aplicando isso a p: como 3 divide p^{2}, concluímos que 3 divide p.

Passo 6

Da conclusão do passo anterior, existe um inteiro k tal que
p=3k.
Substituindo isso em 3q^{2}=p^{2}, temos
3q^{2}=(3k)^{2}=9k^{2}.
Dividindo ambos os lados por 3, obtemos
q^{2}=3k^{2}.
Isso mostra que q^{2} também é múltiplo de 3. Usando de novo o lema do passo 5, se 3 divide q^{2} então 3 divide q. Logo q também é múltiplo de 3.

Passo 7

Chegamos a uma contradição com a hipótese de partida. Inicialmente assumimos que a fração \dfrac{p}{q} estava em forma irredutível, isto é, que \gcd(p,q)=1 e portanto p e q não têm um divisor comum maior que 1. Mas deduzimos que tanto p quanto q são divisíveis por 3, o que significa que eles têm pelo menos o divisor comum 3. Isso contradiz a condição de que a fração estava reduzida.

Passo 8

Como a suposição inicial (de que \sqrt{3} é racional) levou a uma contradição lógica, essa suposição é falsa. Portanto \sqrt{3} não é racional.

Resposta

\sqrt{3} é irracional.

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